［Ｑ］ある部分位相空間（Ｓ）から出発して，補集合をとること（ｋ），閉包をとること（ｃ），内部をとること（ｉ），の操作だけを施すと異なる集合が最大いくつ得られるか？

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【１】クラトウスキーの閉包・補集合定理

［１］ｋｋＳ＝Ｓ

［２］ｃｃＳ＝ｃＳ

　これから

［３］ｃｋｃＳ＝ｃｋｃｋｃｋｃＳ

が成り立つ．

　また，

［４］ｉＳ＝ｋｃｋＳ

であるから，冒頭の問題は

［Ｑ］ある部分位相空間（Ｓ）から出発して，補集合をとること（ｋ），閉包をとること（ｃ），の操作だけを施すと異なる集合が最大いくつ得られるか？

と同値である．したがって，集合Ｓから［１］［２］［３］を用いて作ることのできる集合を考えればよいことになる．

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［Ａ］答えを先にいうと

　　Ｓ，ｋＳ，ｃｋＳ，ｋｃｋＳ，ｃｋｃｋＳ，ｋｃｋｃｋＳ，

　　ｃｋｃｋｃｋＳ，ｋｃｋｃｋｃｋＳ，ｃＳ，ｋｃＳ，ｃｋｃＳ，

　　ｋｃｋｃＳ，ｃｋｃｋｃＳ，ｋｃｋｃｋｃＳ

の高々１４通り（Ｓを除くと１３種類）である．

　ｃとｋを交互に適用できる回数の最大値は７であることに注意．

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