逆にたどれば，正単体・正軸体・立方体系からは白銀比に関連した菱形多面体，正１２面体・正２０面体系からは黄金比に関連した菱形多面体ができるはずである．したがって，黄金比と白銀比の相補性をみたいのならば両者の混合を調べればよいと思う．しかし，両者の混合は当該論文には掲載されていない．菱形９０面体はたまたま黄金比と白銀比の相補性をみることのできる多面体になっているのである（偶然の産物）．

　さて，切頂四面体から菱形１３２面体（トランスタイプ）の構築，切頂六面体から菱形１３２面体（シスタイプ）の構築が可能であるようだ．いずれの場合も中心と各頂点を結ぶ基本ベクトルは全部で１２本ある．このうちの３本を選んで平行六面体（菱面体）を作ると，組み合わせは全部で12Ｃ3＝２２０通りあるが，それらから形成される平行六面体は数種類に限られる．重複するもの・退化するものがあるからだ．ともあれ，これらの平行六面体を組みあげていくことにより，菱形１３２面体が構築される．

　ここでは，切頂四面体の各頂点の座標から，上記の平行六面体の寸法と角度を割り出してみることにしたい．

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【１】切頂四面体の計量

　１辺の長さが１の正四面体の頂点を

　　Ｖ1＝（０，０，０）

　　Ｖ2＝（１，０，０）

　　Ｖ3＝（１／２，√３／２，０）

　　Ｖ4＝（１／２，√３／６，√６／３）

とすると，切頂点は

　　（１／３，０，０），（２／３，０，０）

　　（１／６，√３／６，０），（５／６，√３／６，０）

　　（１／３，√３／３，０），（２／３，√３／３，０）

　　（１／６，√３／１８，√６／９），（５／６，√３／１８，√６／９）

　　（１／３，√３／９，２√６／９），（２／３，√３／９，２√６／９）

　　（１／２，７√３／１８，√６／９），（１／２，５√３／１８，２√６／９）

　一方，

　　ａj＝（１／２ｊ（ｊ＋１））^1/2

とおくと，正四面体の基本単体の頂点は

　　Ｐ0＝（０，０，０）

　　Ｐ1＝（ａ1，０，０）＝（１／２，０，０）

　　Ｐ2＝（ａ1，ａ2，０）＝（１／２，√３／６，０）

　　Ｐ3＝（ａ1，ａ2，ａ3）＝（１／２，√３／６，√６／１２）

　切頂点からＰ3を差し引いて，ｚ座標が正となるようにすると１２本星ベクトルが得られる．

　　（±１／６，√３／６，√６／１２）

　　（±１／３，０，√６／１２）

　　（±１／６，−√３／６，√６／１２）

　　（±１／３，−√３／９，√６／３６）

　　（±１／６，−√３／１８，５√６／３６）

　　（０，２√３／９，√６／３６）

　　（０，√３／９，５√６／３６）

　３６をかけると

　　（±６，６√３，３√６）

　　（±１２，０，３√６）

　　（±６，−６√３，３√６）

　　（±１２，−４√３，√６）

　　（±６，−２√３，５√６）

　　（０，８√３，√６）

　　（０，４√３，５√６）

　第１象限にあるもの

　　（６，６√３，３√６）

　　（１２，０，３√６）

　　（０，８√３，√６）

　　（０，４√３，５√６）

を選んで計算すると

　　ｃｏｓθ＝１２６／１９８，１６２／１９８，１８／１９８，９０／１９８

　　ｃｏｓθ＝７／１１，９／１１，１／１１，５／１１

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