【１】カッシーニ曲線

　２定点（−ａ，０），（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点はどのよう軌跡を描くでしょうか．

（答）はカッシーニ曲線．

　　｛（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2｝｛（ｘ−ａ）^2＋ｙ^2｝＝ｃ^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2−２ａ^2（ｘ^2−ｙ^2）＝ｃ^2−ａ^4

　　ｒ^4−２ａ^2ｒ^2ｃｏｓ２θ＋ａ^4＝ｃ^2

　２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線（４次の多項式）はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．ｃの変化に応じて曲線は４種類に移り変わるのですが，４種類とは凸卵形，つぶれた卵形（変曲点をもつ繭形），８の字型，２つに分かれたペアの卵形です．

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