【２】２次元多様体の分類定理（その２）

　基本的な曲面（球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐ）の組み合わせを標準形曲面と呼びます．ここでは標準形曲面Ｓ，ｎＴ（ｎ≧１），ｍＰ（ｍ≧１）を取り扱うことにします．ＳとｎＴは向き付け可能，ｍＰは向き付け不可能ですから，Ｓだけが孤立していますが，Ｓを０Ｔと約束するとｎＴ（ｎ≧０）は向き付け可能な標準形曲面となり，好都合です．

　また，クラインの壷Ｋは２つの射影平面の連結和２Ｐ＝Ｐ＃Ｐと同相です．Ｔ＃ＰはＫ＃Ｐと同相であり，したがって３Ｐとも同相になります．すなわち，クラインの壷Ｋは射影平面Ｐをつけることによってみかけ上そのねじれが解消され，トーラスＴに射影平面Ｐがくっついた形になってしまうことは驚くべきことと考えられます．

　したがって，ｎＴ，ｍＰを扱えばよいことになるのですが，以下にコンパクトな曲面の分類定理をまとめておきます．

［１］向き付け可能なコンパクトな曲面はｍＴ（ｍ≧０）と同相である．ただし，０Ｔは球面Ｓを意味するものとする．

　すなわち，なめらかに埋め込まれた閉曲面は球面Ｓか，ｍ人乗りの浮き輪ｍＴのいずれかに同相になります．このｍは種数，このような曲面は種数ｍの閉曲面と呼ばれます．

　これで閉曲面の位相的分類定理の半分です．残り半分は次のように表せます．

［２］向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍＰ（ｍ≧１）と同相である．

　なめらかに埋め込まれた閉曲面以外にも重要な閉曲面があります．クラインの壷Ｋが向き付け不可能な閉曲面の例です．クラインの壷は２重線のみをもつ閉曲面の例ですが，３重線をもつ閉曲面の例としてボーイの曲面があります．ボーイの曲面は射影平面Ｐと同相，クラインの壷Ｋは２Ｐと同相ですから，射影平面Ｐの方がより基本的なのです．

　向き付け不可能のときは，ｍ個のボーイの曲面を繋げたものに同相になるというのが，閉曲面の位相的分類定理の残り半分です．残り半分は次のように表Ｔのいずれかに同相になります．向き付け不可能の場合もｍは種数，このような曲面は種数ｍの向き付け不可能閉曲面と呼ばれます．

［３］これ以外の向き付け不可能なコンパクトな曲面は，Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴ（ｍ≧０）のような向き付け不可能な曲面と同相である．Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴを第２標準形曲面と呼ぶ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝