【２】平面モデル

　球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの平面モデルはいずれも４角形でしたが，たとえば，２つ穴トーラス：２Ｔ＝Ｔ＃Ｔの平面モデルは何角形になるでしょうか？

　三角形分解定理（ラドー，１９２０年代）により，すべてのコンパクトな曲面は平面モデルで表現することができるのですが，２Ｔをａ，ｂ，ｃ，ｄというラベルの付いた曲線に沿って切り開くと８角形の平面モデルが得られます．

　２つ穴トーラス面を真ん中で２つに分けると，トーラス面に穴のあいたものａｂａ^(-1)ｂ^(-1)ｘとｘｃｄｃ^(-1)ｄ^(-1)ができます．これらを切り開くとどちらも５角形となります．これをｘで２つつなぎ合わせると辺ｘは内部に吸収され，８角形になるというわけです．

　同様に

　　３Ｔ　→　１２角形

　　４Ｔ　→　１６角形

　　・・・・・・・・・・・・

　　１００Ｔ　→　４００角形

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【３】２次元多様体の分類定理（その２）

　基本的な曲面（球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐ）の組み合わせを標準形曲面と呼びます．ここでは標準形曲面Ｓ，ｎＴ（ｎ≧１），ｍＰ（ｍ≧１）を取り扱うことにします．ＳとｎＴは向き付け可能，ｍＰは向き付け不可能ですから，Ｓだけが孤立していますが，Ｓを０Ｔと約束するとｎＴ（ｎ≧０）は向き付け可能な標準形曲面となり，好都合です．

　また，クラインの壷Ｋは２つの射影平面の連結和２Ｐ＝Ｐ＃Ｐと同相です．Ｔ＃ＰはＫ＃Ｐと同相であり，したがって３Ｐとも同相になります．すなわち，クラインの壷Ｋは射影平面Ｐをつけることによってみかけ上そのねじれが解消され，トーラスＴに射影平面Ｐがくっついた形になってしまうことは驚くべきことと考えられます．

　したがって，ｎＴ，ｍＰを扱えばよいことになるのですが，以下にコンパクトな曲面の分類定理をまとめておきます．

［１］向き付け可能なコンパクトな曲面はｍＴ（ｍ≧０）と同相である．ただし，０Ｔは球面Ｓを意味するものとする．

［２］向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍＰ（ｍ≧１）と同相である．

［３］これ以外の向き付け不可能なコンパクトな曲面は，Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴ（ｍ≧０）のような向き付け不可能な曲面と同相である．Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴを第２標準形曲面と呼ぶ．

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