多面体の展開図ではハサミがすべての頂点を通らなければ平面に広げることはできない．たとえば，立方体の辺に沿った展開図では８頂点を通らなければならず，そのためには７辺を切り離す必要がある．

　１本の切れ込みを入れると展開図の２辺が得られるから，一般に四角柱の展開図は１４角形，三角錐の展開図は６角形，四角錐の展開図は８角形，重四角錐の展開図は１０角形になることがわかる．すなわち，頂点数Ｖの多面体の展開図の辺数ｅは

　　ｅ＝２（Ｖ−１）

となるのである．（実際に数えてみると，２種類ある正四面体の展開図ではｅ＝３，４，１１種類ある立方体の展開図ではｅ＝８，１０，１２，１１種類ある正八面体の展開図ではｅ＝６，７，８，９，１０が得られるが，それぞれｅ＝６，１４，１０が退化したものと考えることができる．）

　逆にいえば，立方体の展開図（１４角形）にラベルａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇをつけ，ラベルを共有する２本の辺を貼り合わせると立方体の表面になる．このようなラベルや矢印の付いた多角形領域のことを構成された図形の平面モデルと呼ぶ．

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【１】２次元多様体の分類定理（その１）

　ゴム膜でできた長方形の４辺（または２辺）を適当に貼り合わせることを考えてみましょう．そして，長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします．

　すると，１組の対辺だけを向きを保ったまま貼り合わせる操作はａ０ａ^(-1)０と書くことができます．ａ０ａ^(-1)０によって円環ができあがります．ａ０ａ０すなわち１組の対辺を向きを逆にして貼り合わせる操作によって，メビウスの帯ができあがります．円環の境界は２本の円周ですが，メビウスの帯の境界は１本の円周です．

　同様に，ａｂｂ^(-1)ａ^(-1)からは球面，ａｂａ^(-1)ｂ^(-1)からは輪環面（トーラス），ａｂａｂ^(-1)からはクラインの壷，ａｂａｂからは射影平面が得られます．

　クラインの壷と射影平面は３次元ユークリッド空間の中では描けませんが，４次元空間考えると自己交差なしに重ね合わせることができます．また，イメージするのは難しいのですが，射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です．

　円環，球面，輪環面は表から裏に行くことはありませんが，メビウスの帯，クラインの壷，射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます．こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます．

　これら６種類はすべて２次元多様体の例です．そして，コンパクトな２次元多様体はどんなものでも，円環，メビウスの帯，球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの６つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています．これが２次元多様体の分類定理ですが，その詳細については後回しにして，次に連結和の平面モデルについて考えてみます．

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