【１】ルーローの四面体

ルーローの三角形は正三角形の辺を円弧で置き換えた形になっていますが、正四面体（３次元単体）の各頂点を中心にして辺長を半径として球面を描くと作られるルーローの四面体は正四面体の面を球面に置き換えた形になっています。ルーローの三角形の3次元版です。

しかし、ルーローの三角形が定幅曲線であるのに対し、ルーローの四面体は定幅図形ではありません。

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【２】マイスナーの四面体

マイスナーはルーローの四面体の辺を削り取った部分を円弧の回転面で置き換えることによって、定幅図形ができることを示しました。

マイスナーの論文：Meissner: Drei Gipsmodelle von Flaechen konstanter Breite, Z. Math. Phys. 60(1912),92-94

をあたってみたところ，マイスナーが定幅曲面の例としてあげているモデルは，

［１］フルヴィッツ・藤原曲線を対称軸の周りで回転させた回転面

［２］ルーローの円弧三角形を対称軸の周りで回転させた回転面

［３］４つの球面と３つのトーラス面よりなる非回転面

の３つである．

４つの球面からなるルーローの四面体とはまったく別物であることはわかったが、マイスナーの論文では，ルーローの四面体の６稜のうち，３組の対稜の一方を切稜することが記載されている．３稜が切稜されることになるが，その際，ある頂点Ａからでる３稜ＡＢ，ＡＣ，ＡＤを切稜し，３つのトーラス面とする．しかし，説明はこれだけであり，あとは想像するしかない．６辺がすべて円弧の回転面（トーラス面）に置き換わるのであろう。

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トーラスは円(半径ｒ)の回転面（回転半径R）である。

x=(R+rcosu)cosv

y=rsinu

z=(R+rcosu)sinv

で表される。

R＞rのときリングトーラス

R＝rのときホーントーラス

R＜rのときスピンドルトーラス

R=0のとき球面になる

どのようにして4つの球面に接続させるのだろうか？

一方、ルーローの四面体は4つの球の交わりで、正四面体の面を球面に置き換えた形になっている。

球面の中心は元の正四面体の各頂点で、ルーローの四面体をつの頂点を通る平面で切ると断面にルーローの三角形が現れる。

1辺に長さが1、中心が原点に来るように全体を平行移動する。

(x-1/2)^2+(y+√3/6)^2+(z+√6/12)^2=1

(x+1/2)^2+(y+√3/6)^2+(z+√6/12)^2=1

x^2+(y-√3/3)^2+(z+√6/12)^2=1

x^2+y^2+(z-√6/4)^2^2=1

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これらに接する球を

x^2+y^2+(z-R)^2=r^2

とおく

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[2]について

A(1/2,-√3/6,-√6/12)

B(-1/2,-√3/6,-√6/12)

C(0,√3/3,-√6/12)

D(0,0,√6/4)

三角形ACDの重心は(1/6,√3/18,√6/36)

中心との距離はそれd^2=1/36+1/108+1/216=(6+2+1)/216=1/24

ACD平面の方程式は x/6+y√3/18+z√6/36=√6/12

三角形BCDの重心は(-1/6,√3/18,√6/36)

中心との距離はそれd^2=1/24

BCD平面の方程式は x/6+y√3/18+z√6/36=√6/12

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ACD平面とBCD球面の交線は

x/6+y√3/18+z√6/36=√6/12

(x-1/2)^2+(y+√3/6)^2+(z+√6/12)^2=1

BCD平面とACD球面の交線は

-x/6+y√3/18+z√6/36=√6/12

(x+1/2)^2+(y+√3/6)^2+(z+√6/12)^2=1

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この交線が円弧CDで、CDを軸として回転させたスピンドルトーラスが求めるものになる。

(y+√3/6)^2+(z+√6/12)^2=3/4の中心は(0,-√3/6,-√6/12)でABの中点

C(0,√3/3,-√6/12)

D(0,0,√6/4)を通る

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CDをｚ軸としたほうが表しやすい

C(0,0,1/2)

D(0,0,-1/2)

A(-x,y,0)

B(x,y,0)

2x=1,x=1/2

1/4+y^2+1/4=1

y=-√2/2

4つの球は

x^2+y^2+(z-1/2)^2=1

x^2+y^2+(z+1/2)^2=1

(x+1/2)^2+(y+√2/2)^2+z^2=1

(x-1/2)^2+(y+√2/2)^2+z^2=1

したがって、求めたい交線は(y+√2/2)^2+z^2=3/4

この円の中心はABの中心(0,√2/2,0)

トーラス面は

r1=√2/2,r0=√3/2

　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−√2/2｝^2＋ｚ^2＝3/4

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　トーラス

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｘ＝（ｒ0ｃｏｓｖ＋ｒ1）ｃｏｓｕ

　　ｙ＝（ｒ0ｃｏｓｖ＋ｒ1）ｓｉｎｕ

　　ｚ＝ｒ0ｓｉｎｖ

において，ｒ1／ｒ0比が大きいとドーナツはフラフープのようになりますが，比が１に近づくと孔は狭まり，ｒ1／ｒ0＜１になると互いに自分自身の中に食い込んだ形になり，ヘソの付いたアンパンのような形になります．これらは自己交差していて正則でない曲面の例です．

［０］標準トーラス（ｒ1／ｒ0＞１）・・・リングトーラス

［１］極限トーラス（ｒ1／ｒ0＝１）・・・ホーントーラス

［２］紡錘トーラス（ｒ1／ｒ0＜１）・・・スピンドルトーラス

［３］球（ｒ1／ｒ0＝０）

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［１］フルヴィッツ・藤原曲線を対称軸の周りで回転させた回転面

［２］ルーローの円弧三角形を対称軸の周りで回転させた回転面

一般に、線対称な定幅曲線を対称軸周りに回転させると定幅曲面である

［３］４つの球面と３つのトーラス面よりなる非回転面

は定幅曲線

P1(√2,0,0)

P2(0,√2,0)

P3(0,0,√2,0)

Q1(√2-2,0,0)

Q2(0,√2-2,0)

Q3(0,0,√2-2)

円弧P1P2:中心O,半径√2

円弧P2Q1:中心P1,半径2

円弧Q1Q2:中心O,半径2-√2

円弧Q2P1:中心P2,半径2

から構成される定幅曲面である

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