長さ１の線分の一端Ａ（ｃｏｓθ，０）がｘ軸上に，他端（０，ｓｉｎθ，０）がｙ軸上にあるとき，この線分の包絡線はアステロイドになることはよく知られている．このときＯＡ^2＋ＯＢ^2＝１である．

　それでは，ＯＡ＋ＯＢ＝一定のときはどうなるのだろうか？

［３］線分の一端Ａ（ｓ，０）がｘ軸上に，他端（０，１−ｓ）がｙ軸上にあるとき，この線分の包絡線は？

　線分ＡＢの方程式は

　　ｘ／ｓ＋ｙ／（１−ｓ）＝１

　　ｕ（ｓ）＝１／ｓ，ｖ（ｓ）＝１／（１−ｓ）

　　ｕ’（ｓ）ｘ＋ｖ’（ｓ）ｙ＝０

　　−ｘ／ｓ^2＋ｙ／（１−ｓ）^2＝０

連立させてｘ，ｙについて解くと

　　ｘ＝ｓ^2，ｙ＝（１−ｓ）^2

　　ｘ^1/2＋ｙ^1/2＝１　　（放物線）

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　移項して２乗すれば

　　（ｘ−ｙ）^2＝２（ｘ＋ｙ）−１

これは放物線を表します．

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