［１］ハイポサイクロイド

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ－１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ－１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ－１）ｒｓｉｎθ－ｒｓｉｎ（ｎ－１）θ・・・(2)

において，ｘはｃｏｓθのｎ－１次式で表されます．

　ｎ＝２のとき，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　　　－２≦ｘ≦２

すなわち，固定円の直径と一致します（コペルニクスの定理）．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．

　また，ｎ＝３，ｒ＝１とすると，デルトイドの媒介変数表示

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ・・・(1)

　　ｙ＝２ｓｉｎθ－ｓｉｎ２θ・・・(2)

で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ－１ですから

　　ｘ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ－１

これを解いて

　　ｃｏｓθ＝｛－１＋（２ｘ＋３）^1/2｝／２

　また，(1)^2+(2)^2より

　　ｘ^2＋ｙ^2＝５＋４ｃｏｓ３θ　→（ｘ^2＋ｙ^2－５）／４＝４ｃｏｓ^3θ－３ｃｏｓθ

よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるデルトイドの方程式は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋１２ｘ＋９＋ｙ^2）^2－４（２ｘ＋３）^3

＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）－８ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）－２７＝０

と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．

　また，星形曲線アステロイドは固定円の半径が回転円の半径の４倍になっているハイポサイクロイドです．ｎ＝４，ｒ＝１とすると，アステロイドでは

　　ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ・・・(1)

　　ｙ＝３ｓｉｎθ－ｓｉｎ３θ・・・(2)

ですが，３倍角の公式

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ－３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ－４ｓｉｎ^3θ

を用いると

　　ｘ＝４ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝４ｓｉｎ^3θ

より

　　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝４^2/3

を得ることができます．

　これは簡単な形ですが，整数ベキに直すために両辺を３乗

　　３ｘ^2/3ｙ^2/3（ｘ^2/3＋ｙ^2/3）＝４^2－ｘ^2－ｙ^2

　　３（４ｘｙ）^2/3＝４^2－ｘ^2－ｙ^2

さらに３乗すると，アステロイドは６次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3－４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）－４０９６＝０

と表すことができることがわかります．

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