エピサイクロイド（カージオイド，ネフロイドなど），ハイポサイクロド（デルトイド，アステロイドなど）には，直線族の包絡線であるという共通の性質が知られています．

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アステロイドは，棒の両端をｘ軸，ｙ軸にのせながら動かしたときの包絡線となっています．周転円によってサイクロイドを描くことは大変ですが，この方法であれば簡単にできますから，なかには実際に描いてみた方もおられることでしょう．

　「アステロイド：ｘ^(2/3)＋ｙ^(2/3)＝ａ^(2/3)において曲線状の任意の点における接線がｘ軸，ｙ軸と交わる点をそれぞれＡ，ＢとすればＡＢ＝ａであることを証明せよ．」は高校の教科書にも取り上げられているのでご存知の方も多いはずです．すなわち，一定の長さａの線分の両端が直交軸上を動くとき，その線分の包絡線の方程式がアステロイドなのです．

　一方，その逆問題「曲線上の任意の点における接線のｘ軸，ｙ軸とで切り取られる部分の長さが一定であるような曲線を求めよ．（クレローの微分方程式）」を取り上げたものは少ないようですが，この微分方程式も簡単に解けてアステロイドという解曲線が得られます．

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