（３）３次元アステロイドの表面積

　アステロイドを拡張する方向としては，ひとつには次元を増すこと，もうひとつは尖点数を変えることが考えられます．アステロイドの次元を増すと，３次元アステロイド

　　ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＋ｚ2/3 ＝ａ2/3

となりますが，この図形は６つの尖点を持っています．

　ところで，アステロイドの表面積はなかなか解けない問題として，悪名高いものです．ベータ関数を除いてはせいぜい初等関数がでてくるだけなのに，置換積分を何度も行っているうちに，そのつど係数が長くなってしまい，前途多難．−−−計算の原理は難しくはなく，私も解決に至るシナリオ，ストーリーはわかっているのですが，いくら手計算しても「解析学大要」養賢堂と答えが合いません．

　具体的な計算の方法までわかっているのに，答えが合わない．計算というのは不可解なものです．そこで，話を２次元アステロイド

　　ｘ2/3 ＋ｙ2/3 ＝ａ2/3

に戻して，その周長Ｌ・面積Ａ・回転体の表面積Ｓ・回転体の体積Ｖを計算してみましょう

　　Ｌ＝∫｛１＋（ｙ’）^2｝^1/2ｄｘ

　Ａ＝∫ｙｄｘ

　Ｓ＝２π∫ｙ｛１＋（ｙ’）^2｝^1/2ｄｘ

　Ｖ＝π∫ｙ^2ｄｘ

　これらの積分は，

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ

とパラメトライズすることによって，いずれも

　　∫ｓｉｎ^mθｃｏｓ^nθｄθ

に帰着します．この積分は，一般には，ベータ関数

　　Ｂ（ｘ，ｙ）＝２∫(0-π/2)ｓｉｎ^(2x-1)θｃｏｓ^(2y-1)θｄθ

　　　　　　　　＝∫(0-1)ｔ^x（１−ｔ）^yｄｔ

ですが，例えば

　　∫ｓｉｎ^4θｃｏｓθｄθ＝ｓｉｎ^5θ／５＋Ｃ

のように高校レベルで解けるものもあります．

　計算の結果，

　　Ｌ＝６ａ

　　Ａ＝３／８πａ^2

　　Ｓ＝１２／５πａ^2

　　Ｖ＝３２／１０５πａ^3

が得られました．ただし，この数値は筆者が数式処理ソフトを用いずに，手計算で求めた値ですから，信頼率はかなり低いと思われます．読者諸賢の検算をお願いいたします．

【問】デルトイド

　　ｘ＝２ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ２θ

　　ｙ＝２ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ２θ

の面積を求めよ．　　（答）２πｒ^2

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　さて，一般に，多次元ユークリッド空間の点（x1,x2,x3,･･･,xn）は，ｒ＞０，０≦θ1,θ2,･･･,θn-2≦π，０≦θn-1≦２πを満たすｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1によって，

　　ｘ1＝ｒｃｏｓθ1

　　ｘ2＝ｒｓｉｎθ1ｃｏｓθ2

　　ｘ3＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓθ3

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘn-1＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2・・・ｓｉｎθn-2ｃｏｓθn-1

　　ｘn　＝ｒｓｉｎθ1ｓｉｎθ2・・・ｓｉｎθn-2ｓｉｎθn-1

と表すことができます．ただし，ｎ＝２のときは，周知のとおり，

　　ｘ1＝ｒｃｏｓθ1

　　ｘ2＝ｒｓｉｎθ1 とします．（ｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1）がｎ次元極座標です．また，そのときヤコビアンD(x1,･･･,xn)/D(r,θ1,･･･,θn-1)は

　　ｒ^(n-1)sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2

となります．

　円周上の座標は，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ

と表され，２次元アステロイドでは，

　　ｘ＝ｒｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝ｒｓｉｎ^3θ

とパラメトライズしました．

　同様に，球面上の座標は

　　ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ

　　ｚ＝ｒｃｏｓθ

で定まります．　したがって，３次元アステロイドでは

　　ｘ＝ｒｓｉｎ^3θｃｏｓ^3φ

　　ｙ＝ｒｓｉｎ^3θｓｉｎ^3φ

　　ｚ＝ｒｃｏｓ^3θ

と変数変換して，これをもとにヤコビアンを求め，

　　Ｓ＝∫∫｛１＋（∂ｚ／∂ｘ）^2＋（∂ｚ／∂ｙ）^2｝^1/2ｄｘｄｙ

の置換積分を繰り返すことになります．

　　Ｊ1＝Ｄ（ｘ，ｙ）／Ｄ（θ，φ）

　　Ｊ2＝Ｄ（ｙ，ｚ）／Ｄ（θ，φ）

　　Ｊ3＝Ｄ（ｚ，ｘ）／Ｄ（θ，φ）

とおくと

　　∂ｚ／∂ｘ＝−Ｊ2／Ｊ1

　　∂ｚ／∂ｙ＝−Ｊ3／Ｊ1

より，

　　Ｓ＝∫∫｛Ｊ1^2＋Ｊ2^2＋Ｊ3^2｝^1/2ｄθｄφ

　その際，

ａ）φに関する積分をｃｏｓ^2φ＝ｕと置換して先に計算する．

ｂ）その結果生ずるθの積分のうち，逆三角関数を含む項ではｓｉｎ^2θ＝ｖと置換してから部分積分し，あらゆる無理関数を有理関数化する． と「解析学大要」養賢堂には指示されています．また，答は

　　Ｓ＝１７／１２πａ^2

とあります．

　私は大量の計算用紙を浪費したあげく，この答えを出すことを断念しました．すなわち，この問題はマイ未解決問題のひとつなので，手計算で答えを出した読者諸賢に対しては敬意を表したいと思います．一方，次の問題は簡単に解けました．

【問】３次元アステロイドの体積

　　Ｖ＝∫∫ｚｄｘｄｙ

を求めよ．　　（答）４／３５πｒ^3

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