ベキ和の公式

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

　　１＋２＋３＋・・・＋１０＝５５

はよく知られている．ガウスは先生から出された問題「１から１００までの数をすべて足しあわせよ」をあっという間に解いたことは有名な逸話である．１から２０までの数の和は２１０，１から１００までの数の和は５０５０である．

　　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６＝ｎ（ｎ＋１／２）（ｎ＋１）／３

となれば次は

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝ｎ（ｎ＋１／３）（ｎ＋２／３）（ｎ＋１）／４

が予想されるところですが，

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

　また，３乗の和は和の２乗である

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

ことに驚かされ，お気に入りの恒等式になったという経験をお持ちの読者も少なくないでしょう．

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　高校ではここまでは周知であろうが，高校数学の指導要領よりレベルをあげると

　　１^4＋２^4＋３^4＋・・・＋ｎ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

あるいは

Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

Σｋ^8＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（５ｎ^6＋１５ｎ^5＋５ｎ^4−１５ｎ^3−ｎ^2＋９ｎ−３）／９０

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ですから，左辺はｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．

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