Ｓ1＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ2＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

は多くの読者にとってお馴染みの公式であろう．さらに，

Ｓ4＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ5＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ6＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ7＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

Ｓ8＝Σｋ^8＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（５ｎ^6＋１５ｎ^5＋５ｎ^4−１５ｎ^3−ｎ^2＋９ｎ−３）／９０

と続く．

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【１】もうひとつのファウルハーバーの定理

　ファウルハーバーは，ベキ和の公式

　　Ｓs＝Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

において，ｓ＝１７まで計算して，

［１］ｓが奇数のとき，ＳsはＳ1の多項式で表されることを見出し，

［２］ｓが偶数のときもこのことが成り立つと予想した．

　ヤコビはファウルハーバーの予想を証明し，

［３］ｓが偶数のときＳsはＳ2で割り切れ，さらに

［４］Ｓs／Ｓ2はＳ1の多項式で表されることを示した．

たとえば，

　　Ｓ3＝Ｓ1^2

　　Ｓ4＝Ｓ2（６Ｓ1−１）／５

　　Ｓ5＝（４Ｓ1^3−Ｓ1^2）／３

　　Ｓ6＝Ｓ2（１２Ｓ1^2−６Ｓ1＋１）／７

　ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができる．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）となる．

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