以前，宮本次郎先生が来仙．表面積や赤道長が球と等しい図形を見せていただきました．その折り，ルーローの四面体が定幅図形でないことをご教示賜り，またまたびっくり．

　以下，コラム「幾何の問題（Ｐａｒｔ�U）」の記述をそのまま転載すると

『平面における定幅図形（いかなる方向に関しても等しい幅をもっている図形）は円だけではなく，そのような形状は無数にあります．定幅図形の中で最大の面積をもつものは円であり，最小の面積をもつものはルーローの三角形です．

　ルーローの三角形とは，一辺の長さａの正三角形（２次元単体）の各頂点を中心にして半径ａの円弧を描くと作られる，３つの円弧からなる等辺円弧三角形です．また，各角内に半径ａ＋ｒ，各対角内に半径ｒの円を描いても定幅曲線が得られます．正三角形の代わりに正（２ｑ＋１）角形についても同様です．

　また，ルーローの単体とは正四面体（３次元単体）の各頂点を中心にして辺長を半径として球面を描くと作られる定幅曲面です．ルーローの三角形を３次元に拡張した図形であり，マイスナーの凸体とも呼ばれます．体積が最小となる定幅図形と信じられていますが，証明されてはいません．一般に，３次元以上のｄ次元のとき，定幅で体積が最大のものはｄ次元球ですが，体積最小のものは解明されていないのです．』

　ルーローの三角形は定幅図形，よってルーローの四面体も定幅図形となるはず・・・ルーローの四面体が定幅図形ではないことを疑っている様子はまったくありません．しかるに，宮本先生によるとルーローの四面体の定幅図形からの誤差は２．５％もあり（ルーローの四角形の内転形からのズレは０．５％にも満たないのですから）その誤差はかなり大きいといえるでしょう．

ルーローの単体とマイスナーの凸体は別物なのである。宮本次郎先生にいただいたマイスナーの凸体は「秋山仁の数学体験館」に寄贈、そこに行けば実物をみられるはずである。

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