極座標（ｒ，θ）を用いて

　　ｒ＝ｒ（θ）＝ａ／（１＋εｃｏｓθ）　　　（ａ＞０，０＜ε＜１）

で表される曲線は原点を１つの焦点とする楕円で，εはその離心率となる．なぜなら，分母を払ってｒ＋ｒεｃｏｓθ＝ａ．また，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒｃｏｓθ＝ｘであるから

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2−２εａｘ＋ε^2ｘ^2

　　（１−ε^2）（ｘ＋εａ／（１−ε^2））^2＋ｙ^2＝ａ^2／（１−ε^2）

これは楕円の方程式である．

　２次曲線は円（ｅ＝０）として生まれ，楕円に育ち，放物線（ｅ＝１）で相転移して双曲線になる．漸近線のなす角度は最初鋭角だがだんだん大きくなり，１８０°になった時点（ｅ＝∞）で虚領域に入る．そして再び円に生まれ変わる．楕円の面積は有限，放物線の面積は∞，この考え方を延長すると双曲線の面積は虚数ということになる・・・というのがケプラーの原理である．射影平面上では，円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となる．

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【１】ケプラーの法則

　１６世紀前半，コペルニクスは地動説を提案しました．この地動説に基づき，天文学者ケプラーは，ティコ・ブラーエが資料として残してくれた２０年にわたる膨大で精確無比な天文観測記録を試行錯誤的に数値計算し，２５年も費やして火星の軌道を執拗に模索しました．ケプラーは後年，この苦心談を「マルス（火星）との悪戦苦闘」と表現していますが，とてつもない忍耐力と信念に支えられた偉大な業績です．

　しかし，その結果は「惑星の軌道は太陽を中心とする円軌道である」とするコペルニクスの地動説に反するものでした．そこで，彼は円軌道という前提に疑問をいだき，これに合う理論を求めてケプラーの法則に到達します．

＜第１法則＞惑星は太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を動く（１６０９年）．

＜第２法則＞面積速度は一定である（角運動量保存則）（１６０９年）．

＜第３法則＞公転周期の２乗は平均距離の３乗に比例する（１６１９年）．

すなわち，惑星の軌道は完全無欠な円ではなく楕円であり，太陽はその一つの焦点の位置にあるとすることによって矛盾が解決されることを導き出したのです．日本ではまだ江戸時代が始まったばかりの時代です．

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［Ｑ１］ケプラーの３法則をもとにして力学を確立したのがニュートンですが，ニュートンの法則からケプラーの第２法則を導け（ニュートンからケプラーへ）．

［Ａ２］まず，準備としてｘｙ平面の極座標（ｒ，θ）を用いて

　　ｒ＝ｒ（θ）＝ａ／（１＋εｃｏｓθ）　　　（ａ＞０，０＜ε＜１）

で表される曲線は原点を１つの焦点とする楕円で，εはその離心率となります．なぜなら，分母を払ってｒ＋ｒεｃｏｓθ＝ａ．また，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒｃｏｓθ＝ｘであるから

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2−２εａｘ＋ε^2ｘ^2

　　（１−ε^2）（ｘ＋εａ／（１−ε^2））^2＋ｙ^2＝ａ^2／（１−ε^2）

これは楕円の方程式です．

　この楕円は

　　ｒ（θ）＝（ｒ（θ）ｃｏｓθ，ｒ（θ）ｓｉｎθ）

とパラメータ表示されますから，点Ｐ＝ｒ（θ）における接ベクトルは

　ｄｒ／ｄθ＝（−ａｓｉｎθ／（１＋εｃｏｓθ）^2，ａ（ε＋ｃｏｓθ）／（１＋εｃｏｓθ）^2）

となることがわかります．以上の準備の下でケプラーの法則について考えてみましょう．

　ｒやθを時間ｔの関数として，’＝ｄ／ｄｔ，”＝ｄ^2／ｄｔ^2とすれば

　　ｒ(t)＝（ｘ(t)，ｙ(t)）＝（ｒ(t)ｃｏｓθ(t)，ｒ(t)ｓｉｎθ(t)）

　　ｖ(t)＝（ｖx(t)，ｖy(t)）＝（ｒ’ｃｏｓθ−ｒθ’ｓｉｎθ，ｒ’ｓｉｎθ＋ｒθ’ｃｏｓθ）

　　ｖ’(t)＝（（ｒ”−ｒθ’^2）ｃｏｓθ−（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｓｉｎθ，（ｒ”−ｒθ’^2）ｓｉｎθ＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｃｏｓθ＋ｒθ’ｃｏｓθ）

　ここで，

　　ｅr＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　　ｅθ＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）

すなわち，ｅrはｒ方向の単位ベクトル，ｅθはそれと直交する単位ベクトルとすると

　　ｖ＝ｒ’ｅr＋ｒθ’ｅθ

　　ｖ’＝（ｒ”−ｒθ’^2）ｅr＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｅθ

　ニュートンの運動法則：Ｆ＝ｍｖ’と万有引力の法則より

　　ｍ｛（ｒ”−ｒθ’^2）ｅr＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｅθ｝＝−ＧＭｍ／ｒ^2ｅr

ですから，

　　ｒ”−ｒθ’^2＝−ＧＭｍ／ｒ^2

　　ｒθ”＋２ｒ’θ’＝０

が成り立っていなければなりません．

　角運動量Ｌは位置ベクトルｒと運動量ｍｖの外積で定義され，その大きさは｜ｒ×ｍｖ｜＝ｍｒ^2θ’で表されるのですが，

　　ｄ（ｍｒ^2θ’）／ｄｔ＝ｍｒ（ｒθ”＋２ｒ’θ’）＝０

より，

　　ｍｒ^2θ’＝ｃ（一定）

これは角運動量保存則にほかなりません．

　一方，面積速度は

　　Ｓ（θ）＝1/2∫｛ｒ（θ）｝^2ｄθ，ｄＳ／ｄθ＝1/2｛ｒ（θ）｝^2

より

　　ｄＳ（θ）／ｄｔ＝1/2ｒ^2ｄθ／ｄｔ＝1/2ｒ^2θ’

角運動量が時間によらないわけですから，面積速度ｄＳ／ｄｔも時間によらず一定

　　ｃ／（２ｍ）

となるわけです．

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［Ｑ２］ニュートンの法則からケプラーの第３法則を導け（ニュートンからケプラーへ）．

［Ａ２］近似的に，太陽の周囲を公転する惑星の軌道が円であると仮定する．公転軌道半径Ｒ，公転角速度ω，公転周期Ｔとすると，

　　ｍＲω^2＝ＧＭｍ／Ｒ^2

　　ω＝√ＧＭ／Ｒ^3

　　Ｔ^2＝（２π／ω）^2＝４π^2Ｒ^3／ＧＭ

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