【１】変形バラ曲線

　　∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円（２次曲線），

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート（４次曲線）に対応していますが，周長が

　　∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか？

　より一般に，「周長が

　　∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

で表される曲線は

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２・θ）

である．」

（証）

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^n)^(1/2)

　　rdθ/dr=(r^n/(1-r^n))^(1/2)

　　dθ/dr=(r^n-2/(1-r^n))^(1/2)

　　dr/dθ=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

　一方，

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２θ）

　　n/2･ｒ^(n/2-1)dr/dθ＝n/2･ｓｉｎ（ｎ／２θ）

　　ｒ^(n/2-1)dr/dθ＝ｓｉｎ（ｎ／２θ）

　　dr/dθ＝ｓｉｎ（ｎ／２θ）／ｒ^(n/2-1)=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

　この曲線はバラ曲線（正葉曲線）の変形版になっている．円（ｎ＝２）もレムニスケート（ｎ＝４）もこの曲線族に属する．ｎ＝１の場合，曲線

　　ｒ^(1/2)＝ｃｏｓ（１／２・θ）

　　ｒ＝ｃｏｓ^2（１／２・θ）＝（１＋ｃｏｓθ）／２

はカージオイドとなる．

　なお，ｎが奇数とき４ｎ次代数曲線，ｎが偶数のときｎ次代数曲線になることが示される．

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【２】バラ曲線とクローバー曲線

　極方程式

　　ｒ＝ａ・ｓｉｎ（ｎθ）

はバラ曲線（あるいは正葉曲線：rhodonea curves）と呼ばれるもので，１８世紀，グランディによって研究された．

　レムニスケートの極方程式は

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θ

であるが，これを一般化した曲線

　　ｒ^n＝ｃｏｓｎθ

はクローバー曲線（あるいは正弦らせん：sinusoidal spiral）という名前がある．

　チェビシェフ多項式を用いて，この曲線を表すと

　　ｒ^n＝ｆn（ｃｏｓθ）

であるから，

　　ｒ^2n＝ｒ^nｆn（ｘ／ｒ）

が成立する．たとえば，ｎ＝３のとき，ｆ3（ｔ）＝４ｔ^3−３ｔであるから

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^3＝４ｘ^3−３（ｘ^2＋ｙ^2）ｘ

となる．

　ｎ＝１／２のとき，カージオイドであるが，

　　ｒ^n＝ｃｏｓ（ｎθ）

　　n･ｒ^(n-1)dr/dθ＝−n･ｓｉｎ（ｎθ）

　　ｒ^(n-1)dr/dθ＝−ｓｉｎ（ｎθ）

　　dr/dθ＝−ｓｉｎ（ｎθ）／ｒ^(n-1)=((1-r^2n)/r^2n-2)^(1/2)

　　dθ/dr=((r^2n-2)/(1-r^2n))^(1/2)

　　rdθ/dr=(r^2n/(1-r^2n))^(1/2)

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=(1/(1-r^2n)^(1/2)

となって，曲線等分問題を扱うには変形バラ曲線の方が相応しい．

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２・θ）

は変形バラ曲線より変形クローバー曲線と呼んだ方が相応しい名前である．

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