立方体に正四面体を内接させることができることは，最初ケプラーにより指摘されたことからケプラー四面体と呼ばれる．また，立方体に２個の正四面体を天地逆転させて重ねて内接させた相貫体にはケプラー八角星（星形八面体）という名前がつけられている．一般に，プラトン立体の複合多面体は２つのプラトン立体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置したものである．

　立方体に内接する２つの正４面体の他にも，正１２面体の頂点の８つを選ぶと立方体の頂点となり，そのような選び方は合計５通りあるから，立方体に外接する５つの正１２面体なども考えることができる．実際，正１２面体にそれぞれ色の違う５つの立方体を内接させることができるような数学用模型がいくつも作られている．今回のコラムでは，２個以上の正多面体を組み合わせた立体のintersectionについて考えてみよう．

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【９】ダビデの星とケプラーの星

　同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．

　星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側のとがった角を結んでも正６角形ができます．すなわち，星形６角形は外側を正６角形が取り囲んでいて，内側にも正６角形が入っていることがわかります．それでは，・・・

（Ｑ）それでは，同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？

（Ａ）複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたもので，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりします．

　この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．

　上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されますが，ところが，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）が正解なのです．

　小生はこの問題を「ダビデの星・ケプラーの星」と呼んでいます．「ダビデの星」では正三角形と正六角形が互いに隣接していますが，それが周期的な格子をつくったものが「カゴメ格子」です．「カゴメ格子」は，文字通り，竹篭編みにみられる篭の目の結び目を作る格子であり，日本人が最も愛好した文様のひとつです．ちなみに「カゴメ」は世界でも通用する呼び名とのことです．

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