【２】ペアノ曲線の連続性と非微分可能性

　これらの連続性は

　　１＝Σ(0,∞)１／２^n+1

から保証される．

　非微分可能性は

　　　Ｓ（ｔ）＝３／４（Ｅ（ｔ−１）＋１）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／３^n

　　　ｆ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）−Ｓ（３ｔ）／３

　　　Ｓ（９^nｔ）＝３／４（Ｅ（９^nｔ−１））＋３／４＝３／４（Ｅ（９^n（ｔ−１））＋３／４　　　（∵９^n＝１　　（ｍｏｄ２））

　　　Σ(0,∞)Ｓ（９^nｔ）／２^n＝３／４（Ｆ（ｔ−１））＋３／２

はいかなるところでも微分可能でないことから保証される．

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【３】補足

　恒等式

　　　ｆ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）−Ｓ（３ｔ）／３

　　　ｆ（３ｔ）／３＝Ｓ（３ｔ）／３−Ｓ（９ｔ）／９

　　　ｆ（９ｔ）／９＝Ｓ（９ｔ）／９−Ｓ（２７ｔ）／２７

　　　ｆ（２７ｔ）＝Ｓ（２７ｔ）／２７−Ｓ（８１ｔ）／８１

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

を無限に繰り返すと

　　　Ｓ（ｔ）＝Σ(0,∞)ｆ（３^nｔ）／３^n

　恒等式

　　　ｓｉｎ^4（ｔ）＝ｓｉｎ^2（ｔ）−ｓｉｎ^2（２ｔ）／２

　　　ｓｉｎ^4（２ｔ）／２＝ｓｉｎ^2（２ｔ）／２−ｓｉｎ^2（４ｔ）／４

　　　ｓｉｎ^4（４ｔ）／４＝ｓｉｎ^2（４ｔ）／４−ｓｉｎ^2（８ｔ）／８

　　　ｓｉｎ^4（８ｔ）／８＝ｓｉｎ^2（８ｔ）／８−ｓｉｎ^2（１６ｔ）／１６

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

を無限に繰り返すと

　　　ｓｉｎ^2（ｔ）＝Σ(0,∞)ｓｉｎ^4（２^nｔ）／２^n

が示される．

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