トーラス

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｘ＝（ｒ0ｃｏｓｖ＋ｒ1）ｃｏｓｕ

　　ｙ＝（ｒ0ｃｏｓｖ＋ｒ1）ｓｉｎｕ

　　ｚ＝ｒ0ｓｉｎｖ

において，ｒ1／ｒ0比が大きいとドーナツはフラフープのようになりますが，比が１に近づくと孔は狭まり，ｒ1／ｒ0＜１になると互いに自分自身の中に食い込んだ形になり，ヘソの付いたアンパンのような形になります．これらは自己交差していて正則でない曲面の例です．

［０］標準トーラス（ｒ1／ｒ0＞１）・・・リングトーラス

［１］極限トーラス（ｒ1／ｒ0＝１）・・・ホーントーラス

［２］紡錘トーラス（ｒ1／ｒ0＜１）・・・スピンドルトーラス

［３］球（ｒ1／ｒ0＝０）

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【１】トーラスの諸計量

　　ｐ（ｕ，ｖ）＝（ｘ，ｙ，ｚ）

　　ｐu（ｕ，ｖ）＝（−（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）ｓｉｎｕ，（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）ｃｏｓｕ，０）

　　ｐv（ｕ，ｖ）＝（−ｒ0ｓｉｎｖｃｏｓｕ，−ｒ0ｓｉｎｖｃｏｓｕ，ｒ0ｃｏｓｖ）

　第１基本量

　　Ｅ＝（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）^2，Ｆ＝０，Ｇ＝ｒ0^2

　　（ＥＧ−Ｆ^2）^1/2＝ｒ0（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）

　単位法線ベクトル

　　Ｎ（ｕ，ｖ）＝（ｃｏｓｖｃｏｓｕ，ｃｏｓｖｓｉｎｕ，ｓｉｎｖ）

　　ｐuu（ｕ，ｖ）＝（−（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）ｃｏｓｕ，（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）ｓｉｎｕ，０）

　　ｐuv（ｕ，ｖ）＝（ｒ0ｓｉｎｖｓｉｎｕ，−ｒ0ｓｉｎｖｃｏｓｕ，０）

　　ｐvv（ｕ，ｖ）＝（−ｒ0ｃｏｓｖｃｏｓｕ，−ｒ0ｃｏｓｖｃｏｓｕ，−ｒ0ｓｉｎｖ）

　第２基本量

　　Ｌ＝−（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）ｃｏｓｖ，Ｍ＝０，Ｎ＝−ｒ0

　　（ＥＧ−Ｆ^2）^1/2＝ｒ0（ｒ1＋ｒ0ｃｏｓｖ）

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【２】サイクライド＝球面族の包絡面

　もっといびつな形も考えることができます．デュパンは大きさを変えながら空間を移動する球の包絡面を考えて，サイクライドをを構成しました．

［１］リング・サイクライド

［２］ホーン・サイクライド

［３］極限ホーン・サイクライド

［４］極限リング・サイクライド

［５］紡錘リング・サイクライド

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【３】サイクライドに関する諸定理

［１］すべてのデュパン・サイクライドはトーラス，直円柱，直円錐のいずれかからの反転によって得られる．

［２］極限トーラスは直円柱に反転を施すことによって得られる．

［３］紡錘トーラスは直円錐に反転を施すことによって得られる．

［４］すべてのデュパン・サイクライドはトーラス，極限トーラス，紡錘トーラスのいずれかからの反転によって得られる．

［５］すべてのデュパン・サイクライドは平行曲面をとる操作，反転，相似変換により互いに移りあえる．

［６］すべてのデュパン・サイクライドは４次または３次曲面として表される．

［７］デュパン・サイクライドは固定した３つの球面に接するすべての球面を包絡する曲面である．→ソディーの６球連鎖

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