フラクタルが登場するまで，図形の次元は１か２か３に限られていた．幾何学では分数次元を想像することも可能であるが，中でも有名なのは「コッホ雪片」である．コッホ雪片ではまず１辺の長さ１の正三角形を描く．それぞれの辺を３等分し，真ん中の部分を取り除く．そこに同じ長さの辺でできたＶ字型を置く．この操作を何回も繰り返すと，雪の結晶のような形になる．

　周長は１回の操作ごとに１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^n→∞である．また，無限に繰り返した結果できるフラクタル図形の面積は

　　Ｓ＝√３／４＋√３／４・（１／３）^2・３＋√３／４・（１／９）^2・３・４＋√３／４・（１／２７）^2・３・４・４＋・・・＝√３／４＋√３／１２／（１−４／９）＝√３／４＋３√３／２０＝２√３／５である．つまり，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

　［参］アン・ルーニー「数学は歴史をどう変えてきたか」東京書籍

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【１】コッホ曲線

　コッホ曲線では１回の操作ごとに全体の長さは１／３ずつ増えるので，ｎ回後の長さは（４／３）^nである．この曲線は１次元の線ではない．また，同時に２次元でもない．そこで，このような曲線はフラクタル次元をもつといわれ，その次元は

　　ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

で，線の次元よりは上だが，面の次元よりは下になる．

　方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　コッホ曲線では，マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は４倍になるから，

　　３^d＝４→ｄ＝ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６

マス目の大きさを半分にした方眼紙であれば，２^1.26倍に増えるのである．

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コッホ雪片では1/3の長さの線分4つに置き換える

次の段階では1/9の長さの線分16に置き換えることになる

そのフラクタル次元は

　　ｌｏｇ４／ｌｏｇ３＝１．２６１８

　　ｌｏｇ16／ｌｏｇ9＝１．２６１８

自己相似の性質がよくわかるだろう

一般に、1/ｒの長さの線分Ｎに置き換えた場合のフラクタル次元は

ｄ＝logN/logr

1/4の長さの線分8つに置き換える場合は

ｄ＝log8/log4=3/2

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