円が直線上を回転するとき，円の中心が描く軌跡は定直線に平行な直線となります．円を正方形に置き換えてみると，頂点が回転軸となりますから，正方形の中心は中心角π／２の円弧を連ねた波型曲線を描きます．正三角形の場合，その中心（重心）は中心角２π／３の円弧をつないだ曲線になります．一般に，正ｎ角形の場合，中心角２π／ｎの円弧をつないだ曲線となるのですが，円の場合は正ｎ角形のｎ→∞のときの極限として，平行線を描くというわけです．

　タイヤが歪んでいるとき，平らな道の上を滑らかに転がることができません．丸くない車輪，たとえば，定幅図形であるルーローの三角形では最高点を同じ高さに保つことはできても中心位置は上下にブレて高さを一定には保てないからです．しかし，逆に考えると，歪んだタイヤでも凸凹具合によっては滑らかに転がることができる道があるはずです．　今回のコラムではルーローの三角形の重心の高さが一定に保たれたまま滑らかに転がることができる道を求めてみることにします．

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【１】ルーローの三角形

　ルーローの三角形の重心を極座標の原点とします．１辺の長さが２の正三角形に円弧をつけたルーローの三角形の場合，重心から頂点までの距離は２√３／３ですから，下辺は

　　２^2＝ｒ^2＋（２√３／３）^2＋２（２√３／３）ｒｓｉｎθ

より

　　ｒ＝２（ｓｉｎθ＋（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）／√３　　（-5π/6≦θ≦-π/6）

で表されます．したがって，解くべき方程式は

　　ｄθ／ｄｘ＝−√３（ｓｉｎθ−（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）／４　　（θ(0)=-π/2）

　この方程式は変数分離形ですから，

　　∫(-π/2,θ)（ｓｉｎθ＋（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）ｄθ＝√３／２∫(0,x)ｄｘ

に帰着されます．

　左辺は

　　−ｃｏｓθ＋√２Ｅ（−１／２）＋√２Ｅ（θ，−１／２）

ですから，第２種楕円積分を変数変換したものになり簡単な形には表せません．右辺は√３／２ｘですから，

　　ｘ＝−２｛ｃｏｓθ−√２Ｅ（−１／２）−√２Ｅ（θ，−１／２）｝／√３

　　ｙ＝−２（ｓｉｎθ＋（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）／√３

　　（-5π/6≦θ≦-π/6）

　直交座標ｙ（ｘ）や極座標ｒ（θ）の形には表せそうにありませんから，パラメータ表示（ｘ（θ），ｙ（θ））のままにしておきます．

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