定規とコンパスだけで正３角形、正４角形、正６角形、正８角形が作図できることは簡単にわかりますが、辺の数５，７，９の場合はどうでしょうか。正５角形は古代ギリシャにおいて作図可能であることが発見されました。となれば、次に正７角形・正９角形の作図は？と考えるのは自然な成り行きでしょう。

ところが、かのアルキメデスでさえも正７角形・正９角形の作図に成功しなかったといわれています。また、内接正多角形の作図は画家であり建築家であるレオナルド・ダ・ヴィンチの関心を惹きました。しかし、彼でさえ近似的な内接正七角形の作図を正確なものと思っていたようです。

辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが、辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから、正１７角形もそうであろうと推察されます。ところが、１７９６年、ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき、のみならず、ｎが素数の正ｎ角形について、ｎ＝２^2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています。

正７角形も正９角形も作図できないのに、まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが、このことを用いると、ｍ＝０のとき正３角形、ｍ＝１のとき正５角形、ｍ＝２のとき正１７角形となり、作図可能であることがわかります。当然、ずっと面倒になるでしょうが、正２５７角形（ｍ＝３）、正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です。

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１７９６年，ガウスは

cos(2π/17)=1/16・(A+B+C)=0.932472･･･

A=-1+√17

B=(34-2√17)^1/2

C=2{(17+3√17)-(34-2√17)^1/2-2(34+2√17)^1/2 }^1/2

となり，正１７角形が定規とコンパスだけで作図可能であることを示しています．

単位円に内接する正十七角形の辺の長さは

2sin(π/17)=1/2√2・(A-B-C)^1/2=0.367499・・・

A=17-√17

B=(34-2√17)^1/2

C=2{(17+3√17)-(34-2√17)^1/2-2(34+2√17)^1/2 }^1/2 の形で与えられる．

正１７角形では３重根号数や４重根号数が登場し、誰でも寒気を感じることでしょう。実際、気力が失われそうな作業が待ち受けていますが，正１７角形は定規とコンパスで作図できるのです。

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