デルトイドの面積はπ/8であるが、それより面積の小さい図形を作ることは簡単ではないのであるが、 現在知られている最適値は(掛谷定数)

(5-2√2)π/24=0.2842582246・・・

シェーンベルグによってほぼπ/11の図形が作られた.

これより面積の小さい図形は見つかっていないが、星状図形に対する掛谷の問題は未解決のままである

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ボレリはπ/8より面積の小さい図形を作った

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ペリトロコイドではπ/8より面積の小さい図形を作ることはできなかった

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ペンタグラムでは尖点を増やしてもπ/8より面積の小さい図形を作ることはできなかった

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