同じ大きさの正多面体同士を面と面で接合して，立体環を作ってみる．立方体では８個で環を作ることができる．

　正八面体でも８個で環を作ることができる．正１２面体と正２０面体も８個で環を作ることができる．

1956年にスタインハウスは問うた。 正四面体の鎖の最後の四面体は最初の四面体と同じになるか？

［Ｑ］正四面体でも環を作ることができるだろうか？　　（スタインハウス，１９５７年）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ａ］不可能．　　（シフィエルチェフスキ，１９５８年）

　しかし，完全な正多面体でなく，１辺の長さを１／５００だけ伸ばすと（１→１．００２７４），４８個で環を作ることができるという．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正四面体の立体らせんでは、ハーレーは

[-1,2/3,2/3,2/3],[1,0,0,0] ,[1,0,0,0] ,[1,0,0,0]

[0,1,0,0] ,[2/3,-1,2/3,2/3],[0,1,0,0] ,[0,1,0,0]

[0,0,1,0] ,[0,0,1,0] ,[2/3,2/3,-1,2/3],[0,0,1,0]

[0,0,0,1] ,[0,0,0,1] ,[0,0,0,1] ,[2/3,2/3/2/3,-1]

を用いていた。この証明でも同様であろう。

Cを頂点Vの対面の重心とするとき

面による反転はVをＣ+（Ｃ-Ｖ）＝2Ｃ−Ｖに写すので、反転の行列は上のようになる。

しかし、これから0-1行列は得られない→正四面体の鎖の最後の四面体は最初の四面体と一致することはない

高次元では2/3→2/dに置き換えるのであるが、最後の正単体は最初の正単体と一致することはない

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Ｃ+（Ｃ-Ｖ）＝2Ｃ−Ｖ=2/3(v1+v2+v3)-v4

v1(1,0,0,0)

v2(0,1,0,0)

v3(0,0,1,0)

v4(0,0,0,1)

Ｃ+（Ｃ-Ｖ）＝2Ｃ−Ｖ=2/3(v1+v2+v3)-v4=2/3(1,1,1,0)-(0,0,0,1)=(2/3,2/,2/3,-1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

M=M1M2M3M4=1/81・[]

[]=[-81,54.54,54]

[-54,-45,90,90]

[-90,6,15,150]

[-150,10,10,115]

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

v1-v4は正四面体の頂点

x1+x2+x3+x4=1、重心座標を考える。

R^3の任意の点はx1v1+x2v2+x3v3+x4v4と一意に表すことができる。

例えばM1はx1v1+x2v2+x3v3+x4v4を-x1v+(2/3x2+x2)v2+(2/3x1+x3)v3+(2/3x1+x4)v4に写す

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝