任意の大きさの円を１点で交わるように描く．任意の円周上の点と２円の交点を結ぶ直線とが隣の円周と交わる点をとる．この作業を繰り返すと最初の点に戻ってきて三角形が閉じる．

　この定理は「かなめの定理」と呼ばれていて，３円の交点はミケル点である．共通の１点を通る任意の３円を描いたとき，頂点がそれぞれの円周上にあり，辺が２円の交点を通る三角形は無限にあることになる．一松信先生からのお手紙によると，・・・

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　３個の円の場合は割りと有名な問題のようです．

「１点Ｏで交わる３個の円において，隣同士の交点をＰ，Ｑ，Ｒとする．第１の円の外側にある点ＡからＡＰを引いて，その延長が第２の円と交わる点をＢとする．ＢからＢＱを引いて，その延長が第３の円と交わる点をＣとすると，ＡＲＣは同一直線上にある．」

　これは円に内接する四角形の性質により，

　　∠ＡＲＯ＝∠ＯＰＢ＝∠ＯＱＣ＝１８０°−∠ＯＲＣ

が成立し，∠ＡＲＯ＋∠ＯＲＣ＝１８０°ですから，ＡＲＣが一直線上にある，という形で容易に示すことができます．

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　４個の円の場合も同様です．

　　∠ＡＳＯ＝∠ＢＰＯ＝∠ＯＱＣ＝∠ＱＲＤ＝∠１８０°−∠ＯＳＤ

すなわち∠ＡＳＯ＋∠ＯＳＤ＝１８０°となり，ＡＳＤは同一直線上にあります．円の個数がもっと多くとも，同様の論法で説明できます．

　「円に内接する四角形の分割できる」はこれを別の形で述べたものと思います．次のように述べた方がよいかもしれません．

　「ΔＡＢＣにおいて，辺ＡＢ，ＡＣと交わるように円ＡＱＰを描く．その上に点Ｓを（Ｐ，Ｑに対してＡと反対側に）とり，Ｂ，Ｑ，Ｓを通る円を描き，ＢＣとの交点をＲとする．このとき，Ｐ，Ｓ，Ｒ，Ｃは同一円周上にある．」

　証明も上と本質的に同じです．

　　∠ＱＳＰ＝１８０°−∠Ａ

　　∠ＱＳＲ＝１８０°−∠Ｂ

から，

　　∠ＰＳＲ＝３６０°−（∠ＱＳＰ＋∠ＱＳＲ）＝３６０°−（１８０°−∠Ａ＋１８０°−∠Ｂ）＝∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°−∠Ｃ

となり，ＰＳＲＣは円に内接します．

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　下図は３円の心定理？　共通弦定理？　　　（中川宏）

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