正７角形の1辺の長さ：a=1

正７角形の短対角線の長さ：b

正７角形の長対角線の長さ：c

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内角：5π/7

1辺に対する円周角：π/7

c=1+2cos(2π/7)=4{cos(π/7)}^2-1=b^2-1

b=2cos(π/7)

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1/b+1/c==1/a

1/b+1/c=1/b+1/(b^2-1)=(b^2+b-1)/(b^3-b)

これが=1/a=1となるためには

b^3-b=b^2+b-1

b^3-b^2-2b+1=0が成り立たなければならない。

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ところで,　　θ＝π／７，７θ＝πより，

　　ｃｏｓ（３θ＋４θ）＝－１

　　ｃｏｓ（３θ）＝－ｃｏｓ（４θ）

　３倍角の公式は

　　ｃｏｓ（３θ）＝４ｃｏｓ^3θ－３ｃｏｓθ

４倍角の公式を知らなければ，倍角の公式を２回適用して

　　ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ^2２θ－１＝８ｃｏｓ^4θ－８ｃｏｓ^2θ＋１

　したがって，ｃｏｓπ／７を解とする方程式は

　　４ｘ^3－３ｘ＝－８ｘ^4＋８ｘ^2－１

　　８ｘ^4＋４ｘ^3－８ｘ^2－３ｘ＋１＝０

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　実は，この方程式はｃｏｓπ／７のみならず，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７，ｃｏｓ７π／７＝ｃｏｓπ＝－１も解となる．

　したがって，

　　８ｘ^4＋４ｘ^3－８ｘ^2－３ｘ＋１＝０

　　（ｘ＋１）（８ｘ^3－４ｘ^2－４ｘ＋１）＝０

と因数分解できる．

　ｃｏｓπ／７，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７は，

　　８ｘ^3－４ｘ^2－４ｘ＋１＝０

の３根となる．

したがって

8(b/2)^3-4(b/2)^2-4(b/2)+1=0

b^3-b^2-2b+1=0が成り立つ。→1/b+1/c=1/aが成り立つ

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