正7角形の1辺の長さ:a=1
正7角形の短対角線の長さ:b
正7角形の長対角線の長さ:c
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内角:5π/7
1辺に対する円周角:π/7
c=1+2cos(2π/7)=4{cos(π/7)}^2-1=b^2-1
b=2cos(π/7)
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1/b+1/c==1/a
1/b+1/c=1/b+1/(b^2-1)=(b^2+b-1)/(b^3-b)
これが=1/a=1となるためには
b^3-b=b^2+b-1
b^3-b^2-2b+1=0が成り立たなければならない。
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ところで, θ=π/7,7θ=πより,
cos(3θ+4θ)=-1
cos(3θ)=-cos(4θ)
3倍角の公式は
cos(3θ)=4cos^3θ-3cosθ
4倍角の公式を知らなければ,倍角の公式を2回適用して
cos(4θ)=2cos^22θ-1=8cos^4θ-8cos^2θ+1
したがって,cosπ/7を解とする方程式は
4x^3-3x=-8x^4+8x^2-1
8x^4+4x^3-8x^2-3x+1=0
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実は,この方程式はcosπ/7のみならず,cos3π/7,cos5π/7,cos7π/7=cosπ=-1も解となる.
したがって,
8x^4+4x^3-8x^2-3x+1=0
(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0
と因数分解できる.
cosπ/7,cos3π/7,cos5π/7は,
8x^3-4x^2-4x+1=0
の3根となる.
したがって
8(b/2)^3-4(b/2)^2-4(b/2)+1=0
b^3-b^2-2b+1=0が成り立つ。→1/b+1/c=1/aが成り立つ
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