たとえば，ｓｉｎ（π／１４）を求めるのに，θ＝π／１４とおくと

　　７θ＝π／２，４θ＝π／２−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝ｓｉｎ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｃｏｓ３θ

こうすれは７次方程式を解く必要はない．

　後者は

−８ｓｉｎ^3θｃｏｓθ＋４ｓｉｎθｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

−８ｓｉｎ^3θ＋４ｓｉｎθ＝４ｃｏｓ^2θ−３

−８ｓｉｎ^3θ＋４ｓｉｎθ＝１−４ｓｉｎ^2θ

８ｓｉｎ^3θ−４ｓｉｎ^2θ−４ｓｉｎθ＋１＝０

より３次方程式に帰着する．

　この方程式はｓｉｎπ／１４のみならず，ｓｉｎ３π／１４，ｃｏｓ５π／１４，（ｓｉｎ７π／１４＝１）も解となるはず．

　したがって，

　　８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０

の３根であるから，根と係数の関係より

　　ｓｉｎπ／１４＋ｓｉｎ３π／１４＋ｓｉｎ５π／１４＝４／８＝１／２

などが示されるはず．

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　前者は

　　８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

　　８ｓｉｎ^4θ−８ｓｉｎ^2θ＋１＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

　　８ｓｉｎ^4θ＋４ｓｉｎ^3θ−８ｓｉｎ^2θ−３ｓｉｎθ＋１＝０

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