ｃｏｓ（π／７）は８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着するのに対して，ｃｏｓ（２π／７）は８ｘ^3＋４ｘ^2−４ｘ−１＝０に帰着する．

　係数の符号が異なるが，前者ではθ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝π，４θ＝π−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ

　後者では

　θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝２π，４θ＝２π−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝−ｓｉｎ３θ

となるからである．

　この事情はｃｏｓ（π／５）とｃｏｓ（２π／５），ｃｏｓ（π／９）とｃｏｓ（２π／９）でも同様である．

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　ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の解として得られる．

　　ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９

　７倍角の公式

　　ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5＋５６ｃｏｓ^3−７ｃｏｓθ

において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　６４ｘ^7−１１２ｘ^5＋５６ｘ^3−７ｘ＝−１

７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元するうまい手があるはずである．

　たとえば，ｓｉｎ（π／１０）を求めるのに，θ＝π／１０とおくと

　　５θ＝π／２，３θ＝π／２−２θ

より，

　　ｃｏｓ３θ＝ｓｉｎ２θあるいはｓｉｎ３θ＝ｃｏｓ２θ

こうすれは５次方程式を解く必要はない．

　前者は

　　４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ

　　４ｃｏｓ^2θ−３＝２ｓｉｎθ

　　４ｓｉｎ^2θ＋２ｓｉｎθ−１＝０

より２次方程式に帰着する．

　後者は

　　−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ＝１−２ｓｉｎ^2θ

となって，３次方程式が現れる．それでも

　　（ｓｉｎθ−１）（４ｓｉｎ^2θ＋２ｓｉｎθ−１）＝０

と因数分解すれは同じ２次方程式に到達する．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝π，４θ＝π−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ

　前者は４次方程式

　　８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ

後者は

　　８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^2θ＋３

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ−１

より３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着するというわけである．

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