［１］ｃｏｓ（π／７）

　ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3－４ｘ^2－４ｘ＋１＝０の解として得られます．

　　ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９

　すぐに思いつくのは７倍角の公式

　　ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ－１１２ｃｏｓ^5＋５６ｃｏｓ^3－７ｃｏｓθ

において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　６４ｘ^7－１１２ｘ^5＋５６ｘ^3－７ｘ＝－１

７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元させてみよう．

　θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝π，４θ＝π－３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝－ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ

　前者は４次方程式

　　８ｃｏｓ^4θ－８ｃｏｓ^2θ＋１＝－４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ

後者は

　　８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ－４ｓｉｎθｃｏｓθ＝－４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

　　８ｃｏｓ^3θ－４ｃｏｓθ＝－４ｓｉｎ^2θ＋３

　　８ｃｏｓ^3θ－４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ－１

より３次方程式：８ｘ^3－４ｘ^2－４ｘ＋１＝０に帰着する．後者の方が方程式の次数が下がり，（ｎ－１）／２次方程式となることがおわかりいただけるであろう．

［２］ｃｏｓ（２π／７）

　θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝２π，４θ＝２π－３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝－ｓｉｎ３θ

　前者は４次方程式

　　８ｃｏｓ^4θ－８ｃｏｓ^2θ＋１＝４ｃｏｓ^3θ－３ｃｏｓθ

後者は

　　８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ－４ｓｉｎθｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^3θ－３ｓｉｎθ

　　８ｃｏｓ^3θ－４ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2θ－３

　　８ｃｏｓ^3θ－４ｃｏｓθ＝－４ｃｏｓ^2θ＋１

より３次方程式：８ｘ^3＋４ｘ^2－４ｘ－１＝０に帰着するというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝