正七角形の中心角は２π／７であるが，ここではφ＝π／１４とおく．

　　ａ＝２Ｒｃｏｓ５φ

　　ｂ＝２Ｒｃｏｓ３φ

　　ｃ＝２Ｒｃｏｓφ

とすると，

　　１／ａ＝１／ｂ＋１／ｃ

　　ａ＋ｂ＋ｃ＝ｃ^2／ａ

　　１／ａ^2＋１／ｂ^2＋１／ｃ^2＝２／Ｒ^2

　　ｂ^2／ａ^2＋ｃ^2／ｂ^2＋ａ^2／ｃ^2＝５

が成り立つ．

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　証明の手始めとして，ｃｏｓπ／１４を解とする方程式を考えてみよう．

　　θ＝π／７，７θ＝πより，

　　ｃｏｓ（３θ＋４θ）＝−１

　　ｃｏｓ（３θ）＝−ｃｏｓ（４θ）

　３倍角の公式は

　　ｃｏｓ（３θ）＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

４倍角の公式を知らなければ，倍角の公式を２回適用して

　　ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ^2２θ−１＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１

　したがって，ｃｏｓπ／７を解とする方程式は

　　４ｘ^3−３ｘ＝−８ｘ^4＋８ｘ^2−１

　　８ｘ^4＋４ｘ^3−８ｘ^2−３ｘ＋１＝０

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　実は，この方程式はｃｏｓπ／７のみならず，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７，ｃｏｓ７π／７＝ｃｏｓπ＝−１も解となる．

　したがって，

　　８ｘ^4＋４ｘ^3−８ｘ^2−３ｘ＋１＝０

　　（ｘ＋１）（８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１）＝０

と因数分解できる．

　ｃｏｓπ／７，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７は，

　　８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０

の３根となる．

　根と係数の関係より

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝４／８＝１／２

　　ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ３π／７・ｃｏｓ５π／７＋ｃｏｓ５π／７・ｃｏｓπ／７＝−１／２

　　ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ３π／７・ｃｏｓ５π／７＝−１／８

が示される．

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