［参］五輪教一・山崎憲久「街角の数学」日本評論社

のまえがきに街角の数学の１例として東京五輪のエンブレム制作者・野老朝雄氏の記事が掲載されていた．　３種類の菱形の辺の中点を結ぶ長方形を考えれば東京五輪のエンブレムになるが，６０個の菱形を並べるやり方は何億通り以上あるとのことであった．

　それで思い出したのが２０１２年に書いたコラム「３種類の菱形による非周期的平面充填」である．

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　１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．

　凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．凧と矢よりも２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）で代替した方がわかりやすいが，パターン全体にわたって正十角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示している．

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【１】３種類の菱形による非周期的平面充填

　２種類の菱形は（２π／５−３π／５，π／５−４π／５）は正十角形の中心角π／５から導かれたものである．もし７回回転対称にしたければ正十四角形の中心角π／７から導かれた３種類の菱形（π／７−６π／７，２π／７−５π／７，３π／７−４π／７）を使うとよいことがわかる．

　パターン全体にわたって正十四角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示すことになり，ペンローズ・タイル貼りに見た目がよく似たものができる．

　もちろん，８回回転対称，９回回転対称，さらに高次のペンローズ・タイル貼りも同様の方法で作ることができる．また，ペンロ＾ズ・タイルの３次元版が黄金菱形６面体による，非周期的空間充填である．　

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