1786年、ガウスはフェルマーの主張の一つ

　　ｎ＝△＋△＋△，△＝ｋ（ｋ＋１）／２

すなわち「すべての整数は３つの三角数の和によって表し得る」を証明した。

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ルジャンドルの定理によると８ｎ+３型整数は3つの平方数の和としてあらわされる。その３つの平方数はすべて奇数でなければならない。

ガウスの発見は８ｎ+３型整数を3つの奇数の平方の和として表すことを意味している。

8n+3=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2

8n+3=4a^2+4a+1+4b^2+4b+1+4c^2+4c+1

8n=4(a^2+a)+4(b^2+b)+4(c^2+c)

n=a(a+1)/2b(b+1)/2+c(c+1)/2

このようにルジャンドルの定理から容易に導かれる。

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ルジャンドルの定理はどのような数が4つの正の平方数の和としてしてあらわされるかも決定する。

８ｎ+３型整数を3つの正の平方数の和としてあらわされる（２つの平方数の和としては表されない）

８ｎ+６型整数を3つの正の平方数の和としてあらわされる（２つの平方数の和としては表されない）

このような数の４倍を考えれば

32ｎ+12型整数を3つの正の平方数の和としてあらわされる（２つの平方数の和としては表されない）

32ｎ+24型整数を3つの正の平方数の和としてあらわされる（２つの平方数の和としては表されない）

↓

49よりもおおきく、8の倍数ではない任意の整数は4つの正の平方数の和としてあらわされることを示すことができる。

あとは49までの数について直接確認すれば証明は完成する。

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「定理」４つの正の平方数の和としてあらされない正の整数は

1,5,9,11,17,29,41,2・4^k,6・4^k,14・4^k

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