Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n

＝１＋２４０｛ｑ＋（１＋２^3）ｑ^2＋（１＋３^3）ｑ^3＋・・・｝

＝１＋２４０｛ｑ＋９ｑ^2＋２８ｑ^3＋・・・｝

　　Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n

＝１−５０４｛ｑ＋（１＋２^5）ｑ^2＋（１＋３^5）ｑ^3＋・・・｝

＝１−５０４｛ｑ＋３３ｑ^2＋２４４ｑ^3＋・・・｝

Ｅ10(z)＝Ｅ4(z)Ｅ6(z)＝１−２６４Σσ9(n)ｑ^n

＝１−２６４ｑ−２６４σ9（２）ｑ^2＋・・・

ｑ：２４０−５０４＝２６４

ｑ^2：−５０４σ5（２）−２４０・５０４＋２４０σ3（２）

＝−５０４（１＋２^5）−２４０・５０４＋２４０（１＋２^3）

＝−１３５４３２＝−２６４（１＋２^9）＝−２６４σ9（２）

　実は任意のモジュラー形式はＥ4(z)とＥ6(z)の多項式である．

　　ｆ（ｚ）＝Ｆ（Ｅ4(z)，Ｅ6(z)）

これは相当に驚くべき定理である．

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Δ＝（Ｅ4^3−Ｅ6^2）１／１７２８＝Στ（ｎ）ｑ^n

＝ｑ＋τ（２）ｑ^2＋τ（３）ｑ^3＋・・・　　（カスプ形式）

は楕円曲線の判別式と呼ばれる．（ある整数が２４個の平方数の和として表される方法の数に関係している）

１７２８で割る理由はできるため係数を簡単にするためであるが，

１７２８＝３・２４０＋２・５０４＝２^6・３^3

は２と３だけを含む素因数分解をもつ．

［２］ｐ（ｎ）の合同式

　　ｐ（５ｋ＋４）＝０　　（ｍｏｄ５）

　　ｐ（７ｋ＋５）＝０　　（ｍｏｄ７）

　　ｐ（１１ｋ＋６）＝０　　（ｍｏｄ１１）

　ここで関係している素数は１２より小さい，１２を割らない素数であるが，２，３に等しくないという事実は，これは楕円曲線の判別式Δが重み１２をもつことに関係している．

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