１７２９は，ラマヌジャンのタクシー・ナンバーの逸話でよく知られているように，２つの３乗数の和で２通りに表される最小の整数である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　１７２８はそれよりも１小さい．したがって，

　　１７２９＝１２^3＝１２・１２・１２

であるが，モジュラー関数ｊ（ｚ）のｚ＝ｉにおける特殊値である．この性質がタクシー・ナンバーの逸話のもとになっていると思われる．

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【１】３次曲線

　１次変換で移り合うものは同一視して，３次式の標準形を求める．テイトの標準形は

　　ｙ^2＋ｘｙ＝ｘ^3−３６ｘ／（ｊ−１７２８）−１／（ｊ−１７２８）

　　ここでｊは複素数で，ｊ≠０，１７２８，ｊ（Ｅ）＝ｊと定める．

　また，ワイエルシュトラスの標準形は

　　ｙ^2＝ｘ^3−（ｃ4／４８）ｘ−ｃ6／８６４

　　ｊ（Ｅ）＝ｃ4^3／Δ，Δ＝（ｃ4^3−ｃ6^2）／１７２８と定める．

　　ｊ＝０→ｃ4＝０，ｃ6≠０

　　ｊ＝１７２８→ｃ4≠０，ｃ6＝０

　ｊ（Ｅ）は不変量で，３次曲線ＥとＥ’が１次変換で移り合うとき，

　　ｊ（Ｅ）＝ｊ（Ｅ’）　　（同型）

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【２】２重周期関数

　ｚを複素変数，τを虚数部分が０でない複素数として

　　ｘ（ｚ）＝１／ｚ^2＋Σ｛１／（ｚ−ｍτ−ｎ）^2−１／（ｍτ＋ｎ）^2｝

を定義する．和は（０，０）以外のすべての整数組（ｍ，ｎ）についてとる．ｚがｐτ＋ｑ（格子点）以外の点であれば，この無限和は有限値に収束する．

　さらに

　　ｙ（ｚ）＝ｄｘ（ｚ）ｄｚ

とおくと，

　　｛ｙ（ｚ）｝^2＝４｛ｘ（ｚ）｝^3−ｇ2ｘ（ｚ）−ｇ3

　　ｇ2，ｇ3はτのみに依存して，ｚに依存しない定数

が成立する．

　ｚが格子点以外の複素数を自由に動くとき（ｘ（ｚ），ｙ（ｚ））は曲線

　　ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3

上を動く．

　一方，複素数ｚの平行移動

　　ｚ→ｚ＋ｍτ＋ｎ

によって，トーラス面と同一視することができる．さらに

　　τ’＝（ａτ＋ｂ）／（ｃτ＋ｄ），ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数で，ａｄ−ｂｃ＝１

によって，曲線ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3と同一視できる．

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