ラマヌジャンの関数

　　｛（２４０Ｅ4）^3−（５０４Ｅ6）^2｝／１７２８＝Δ

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n)^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式を拡張した２４乗版と考えられます．

　ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　γ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝１

は上半平面上の関数である．

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

を重みｋの保型形式という．

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【１】倍角公式

　ｃが偶数であるとき，

　　Δ（（ａｚ＋２ｂ）／（ｃ／２・ｚ＋ｄ））＝Δ（ｃ／２・ｚ＋ｄ）^12Δ（ｚ）

　ここで，ｚ→２ｚと置き換えると

　　Δ（（２ａｚ＋２ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝Δ（ｃｚ＋ｄ）^12Δ（２ｚ）

　　Δ（２γ（ｚ））＝Δ（ｃｚ＋ｄ）^12Δ（２ｚ）

　　Δ（２ｚ）＝Στ（ｎ）（２ｑ）^n＝Στ（ｎ）ｑ^2n

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【２】半角公式

　ｅｘｐ（πｉ）＝−１より

　ｑ（ｚ＋１／２）＝ｅｘｐ（πｉ）ｅｘｐ（２πｉｚ）＝−ｑ（ｚ）

　Δ（ｚ＋１／２）＝Σ（−１）^nτ（ｎ）ｑ^n

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