ここでは重みｋの保型形式

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

をみてみよう．

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　ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　γ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝１

は上半平面上の関数である．

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

を重みｋの保型形式という．

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

　　ｆ（−１／ｚ）＝ｚ^kｆ（ｚ）

を満たす．

　また，ｆ（ｚ）のｑ展開において，負の指数がないとき，モジュラー形式

　　ｆ（ｚ）＝ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

ａ0＝０であるとき，カスプ形式

　　ｆ（ｚ）＝ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

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［１］　　γ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝１

を微分してみると

　　γ’（ｚ）＝（ａｄ−ｂｃ）／（ｃｚ＋ｄ）^2＝１／（ｃｚ＋ｄ）^2

　この指数２には意味があり

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

が偶数の重みに対して最も良く機能する．

［２］　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

は

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

　　ｆ（−１／ｚ）＝ｚ^kｆ（ｚ）

で置き換える頃ができる．とくに

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

はｆ（ｚ）がｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）の関数として表すことができることを意味している．

［３］　アイゼンシュタイン級数

　　Ｅk（ｚ）＝Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　Ｅk(z)＝−Ｂk／２ｋ＋�買ﾐk-1（ｎ）ｑ^n

はｋ＝０，ｋ＝２にたいしてはうまく働かない．アイゼンシュタイン級数を議論するとき，重みを４またはそれ以上とする．

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