ｎ次元正単体，正軸体，蝶立方体のｋ次元胞の数を表す公式は古くから知られており，Coxeter, Regular Polytopesにも表がついています．

［１］ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができ，ｋ次元胞の数は（ｎ＋１，ｋ＋１）です．

［２］ｎ次元正軸体については，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝｛（１＋２ｘ）^n−１｝／ｘ

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）です．

［３］ｎ次元超立方体はこの双対で，母関数が

　　Σｆkｘ^k＝（２＋ｘ）^n

という形になります．すなわち，ｆk＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）です．

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【１】反転公式

　目的の点（点あるいは辺の中点）に隣接する胞の数も，２項係数を活用して求めることができると思われる．

［１］ｎ次元正単体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｋ）は，双対を考えて，ｎ−ｋ次元胞内のｎ−ｍ次元胞と同数，

　　（ｎ−ｋ，ｎ−ｍ）

です．

　なお，ｍ＜ｋのときは，ｋ次元正単体の含むｍ次元胞の数は

　　（ｋ＋１，ｍ＋１）

個になります．

［２］ｎ次元正軸体において，ｋ次元胞に接する（それを含む）ｍ次元胞（ｍ＞ｍ＞ｋ）は，２項係数を使って，

　　２^m-k（ｎ−１−ｋ，ｍ−ｋ）

です．

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