単純多面体に対して

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．０≦ｊ≦ｋ

　ｋ＝ｎのときがオイラー関係式

　　ｆn＝Σ(0,n)（−１）^jｆj

である．

　ｋ＝０のとき，ｆ0＝ｆ0

ｋ＝１のとき，ｆ1＝ｎｆ0−ｆ1

ｋ＝２のとき，ｆ2＝ｎ（ｎ−１）／２ｆ0−（ｎ−１）ｆ1＋ｆ2

ｋ＝３のとき，ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋（ｎ−２）ｆ2−ｆ3

ｋ＝４のとき，ｆ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６ｆ1＋（ｎ−２）（ｎ−３）／２ｆ2−（ｎ−３）ｆ3＋ｆ4

ｋ＝５のとき，ｆ5＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／１２０ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／２４ｆ1＋（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／６ｆ2−（ｎ−３）（ｎ−４）／２ｆ3＋（ｎ−４）ｆ4−ｆ5

ｋ＝６のとき，ｆ6＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）（ｎ−５）／７２０ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）（ｎ−５）／１２０ｆ1＋（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）（ｎ−５）／２４ｆ2−（ｎ−３）（ｎ−４）（ｎ−５）／６ｆ3＋（ｎ−４）（ｎ−５）／２ｆ4−（ｎ−５）ｆ5＋ｆ6

　単純多面体に対して

　　ｆ0＝ｆ0

　　２ｆ1＝ｎｆ0

　　２ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋（ｎ−２）ｆ2

　　２ｆ5＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／１２０ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／２４ｆ1＋（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／６ｆ2−（ｎ−３）（ｎ−４）／２ｆ3＋（ｎ−４）ｆ4

２ｆ2k+1＝Σ(0,2k)（−１）^j（ｎ−ｊ，２ｋ＋１−ｊ）ｆj

であることが確認された．

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