五次元以上のｎ次元の場合は，２ｎ個の頂点と２^n個の胞をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^n個の頂点と２ｎ個の胞をもつ立方体，ｎ＋１個の頂点とｎ＋１個の胞をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしている．

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ ２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

　５次元以上のｎ次元空間には正五角形や正十二面体に相当する５回対称性をもった正多胞体は存在しない．逆にいうと，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜２４胞体，１２０胞体，６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいかもしれない．

　これまでの話から，一般に

　　(1)ｎ次元立方体は（２ｎ−３）段階を経て双対立方体に変化すること

　　(2)ｎ次元正単体には（ｎ−１）段階の準正多胞体があること

が理解されるであろう．

　５次元準正多胞体では，３次元側胞の中心に頂点を置くものは双対正多胞体の稜の中点に頂点を置くものと一致するから，（狭義の）準正多胞体は稜の中点に頂点を置くもの，側面の中心に頂点を置くものだけを数えると２＋３＝５種類，６次元準正多面体では，３次元側胞の中心に頂点を置くものは双対正多胞体の面の中心に頂点を置くものと一致し，４次元側胞の中心に頂点を置くものは双対正多胞体の稜の中点に頂点を置くものと一致するから，（狭義の）準正多胞体は２＋４＝６種類あることになる．

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