【１】準正多面体とその高次元版

　準正多面体（アルキメデス立体）は，正多面体（プラトン立体）と同じ回転対称性をもちながら２種類以上の面が規則的に配列されている立体である．アルキメデスの立体は１３種類あり，１１種類は正多面体と同じ回転対称性と鏡映対称性をもち，２種類は正多面体と同じ鏡映対称性をもたないねじれ型である．準正多面体は外接球と稜接球をもつが内接球はもたない．

　正多面体の各辺の中点を頂点とする準正多面体に立方八面体と１２・２０面体がある．前者は立方体と正八面体，後者は正１２面体と正２０面体の中間に位置する準正多面体である．３次元正多面体の切頂によって，２種類の正多角形からなる準正多面体ができるが，切頂の深さがその頂点と辺の中点との間にあるもの，辺の中点にあるもの，辺の中点を越えたものがあり，結局，ひとつの正多面体からそれに双対な正多面体に至るまで３段階の準正多面体があることになる．

　たとえば，

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→切頂八面体←→正八面体

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→正２０面体

と３段階を経過して変化する．

　しかし，自己双対な正四面体の場合は

　　正四面体←→切頂四面体←→正八面体←→切頂四面体←→正四面体

となり，２種類の多面体が繰り返しながら現れるのみである．このように正四面体は厄介な存在なのである．

　石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」（京都大学学術出版会）では稜の中点に頂点を置くものを準正型（狭義の準正多面体）とし，それ以外の切頂型を切頂型（狭義の半正多面体）としている．この意味で１３種類あるアルキメデス立体をさらに分類してみると

　　(1)準正型：２種類（立方八面体，１２・２０面体）

　　(2)切頂型：５種類（切頂四面体，切頂立方体，切頂八面体，切頂１２面体，切頂２０面体）

　　(3)準正多面体の切頂型：２種類

　　(4)添加型：菱形立方八面体など２種類

　　(5)ねじれ型：ミラーの多面体など２種類

となる．

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