コラム「高次元の正多面体」の議論の後，高次元ではどんな凸多面体を作ることができるかという問いは自然な発想であろう．まずは３次元から・・・

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【１】アルキメデスの立体

　アルキメデスの立体はプラトン立体の５種類よりも多く，全部で１３種類あります．これらの準正多面体は各頂点での面の配置を与えることによって表示できます．

　　（３，４，３，４）→立方八面体

　　（３，６，６）　　→切頂四面体

　正ｎ角形の内角は（ｎ−２）π／ｎなので，（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐk）では

　　Σ（ｐi−２）π／ｐi＜２π

　　Σ２／ｐi＞ｋ−２

でなければなりません．

［１］各頂点に３個の面が集まっているとき，

ｋ＝３ですから，

　　１／ｐ1＋１／ｐ2＋１／ｐ3＞１／２

となります．

　ｐ1＝ｐ2＝ｐ3ならばｐi＝３，４，５ですから，それぞれ正四面体，立方体，正二十面体に対応します

　ｐ1≠ｐ2ならば，ｐ3は偶数でなければなりませんから，

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（３，６，６）→切頂四面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（４，６，６）→切頂八面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（５，６，６）→切頂二十面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（３，８，８）→切頂立方体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（３，１０，１０）→切頂十二面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（４，６，８）→切頂立方八面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3）＝（４，６，１０）→切頂二十十二面体

［２］各頂点に４個の面が集まっているとき，

ｋ＝４ですから，

　　１／ｐ1＋１／ｐ2＋１／ｐ3＋１／ｐ4＞１

となります．

　ｐ1＝３ならば，ｐ2＝ｐ4でなければなりませんから

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，３，３，３）→正八面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，４，３，４）→立方八面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，５，３，５）→二十十二面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，４，４，４）→菱形立方八面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4）＝（３，４，５，４）→菱形二十十二面体

［３］各頂点に５個の面が集まっているとき，

ｋ＝５ですから，

　　１／ｐ1＋１／ｐ2＋１／ｐ3＋１／ｐ4＋１／ｐ5＞３／２

となります．

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4，ｐ5）＝（３，３，３，３，３）→正二十面体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4，ｐ5）＝（３，３，３，３，４）→ねじれ立方体

　　（ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4，ｐ5）＝（３，３，３，３，５）→ねじれ十二面体

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