０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．このように，３次元立方体の８つの頂点を第４の方向に１単位だけ平行移動することにより，４次元立方体の３次元投影図を描くことができる．サルバトール・ダリは４次元を愛した画家であった．

４次元と何か？　アインシュタインの学生ならば，高さと幅と奥行きの３つの空間次元に第４の次元として時間を加えたものであると答えるに違いない．しかし，数学では時間などの物理法則に縛られず，さらに高い空間次元の図形を考えることができる．

とはいえ，線が１次元，正方形が２次元，立方体が３次元，・・・さらに次元を増やすとはいっても，人間の感覚だけで４次元立方体を想像するのは難しいかもしれません．４次元以上はある意味「脳産物」であり，まず，それを受け入れなければなりません．

たとえば，３次元空間内の運動を考える場合，ｘ軸・ｙ軸・ｚ軸方向への並進，ｘ軸・ｙ軸・ｚ軸まわりの回転を考えるだけで，すでにパラメータ数は６になります．このような高次元パラメータ空間での運動解析は，実際の機械設計に欠かせないものになっていますから，受け入れなければならないですし，いったん，受けいれてしまえば無限次元であっても納得できる代物になり，納得できればたとえその図形を見ることができなくても，そんなことはどうでもよいことになってしまいます．４次元といっても単なるパラメータが１個増えたに過ぎないのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝