【３】衝撃の事実

　正５胞体を正６００胞体にうまく内接させたいのであるが，あれこれ試行錯誤していたのであるが，どうしてもうまくいかない．そこへ一松信先生から衝撃の手紙が舞い込んできた．１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れないというものである．

　一松先生の解説によると，

［１］正６００胞体の７２０本の辺がきれいに７２０個の正１０角形（平面にある真の正１０角形）をなすことに注意する．各頂点には６個ずつの正１０角形が通る．そして，中心対称の２頂点以外の任意の２点に対しては，その両方を頂点とする正１０角形がひとつ定まるか，両頂点を中心と結ぶ半径が垂直あるいは６０°の倍数になる．

［２］半径１の外接球面上で一対の点を北極と南極におくと，他の点を標準座標で表すと

緯度南北１８°と５４°の位置に１２点ずつ（正２０面体の頂点）計４×１２

緯度南北３０°の位置に２０点ずつ（正１２面体の頂点）計２×２０

赤道上に１２・２０面体の形の頂点３０

両極２点を加えて１２０個という位置である．

［３］したがって，北極からの距離は２ｓｉｎ１８°，２ｓｉｎ３６°，２ｓｉｎ５４°，２ｓｉｎ７２°，２ｓｉｎ３０°，２ｓｉｎ４５°，２ｓｉｎ６０°，２ｓｉｎ９０°のいずれかになるが，半径１の超球に内接する正５胞体の１辺は√（５／２）であり，このどれとも合わない．

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