ペトリーは４次元の図形を「直観的に見る」ことができたといわれています．もっともこれは例外中の例外で，いくら直観派の人間であっても４次元以上の空間は直接眼に見えません．しかし，３次元の場合の類推として考えることは可能です．

　４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介ですが，６００個の頂点の座標は

　　（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられます．

　正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができます．その意味で，正１２０胞体は４次元の万有正多面体です．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができますが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができません．その二面角を求める場合，図形的な方法や計量的な方法が考えられます．

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【１】正１２０胞体の二面角（図形的な方法）

　正１２０胞体の胞心模型の外形は切頂菱形３０面体である．できあがったものをよく見ると平面につぶれた切頂黄金菱形３０枚が外回りに現れている．これは退化した正十二面体であり，裏に隠れる瞬間の正十二面体と考えることもできる．

　したがって，正１２０胞体の二面角は菱形３０面体の二面角１４４°に等しいことがわかる．

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【２】正１２０胞体の二面角（計量的な方法）

　座標を使って計算してみよう．退化した正十二面体の辺心を通るベクトルは胞心も通る．そこで隣接する退化した正十二面体の辺心の座標を求めてみると，辺心Ａは頂点（τ^2，０，１／τ，１）と頂点（τ^2，０，−１／τ，１）の中点で，

　　Ａ（τ^2，０，０，１）

辺心Ｂは頂点（√５，１，１，１）と頂点（２，τ，１／τ，１）の中点で、　　Ｂ（（２＋√５）／２，（τ＋１）／２，（１／τ＋１）／２，１）

　　＝（（２τ＋１）／２，（τ＋１）／２，τ／２，１）

　これから辺心間＝胞心間ベクトルのなす角を計算すると

　　ｃｏｓθ＝５／６

となって，どうしても図形な方法で求めた値と合致しない．

　そのため手間取っていたのであるが，どうやら中心を（０，０，０，０）と考えていたのが間違いだったようである．中心を（０，０，０，１）にとると，辺心ベクトルは

　　（τ^2，０，０，１）

　　（（２τ＋１）／２，（τ＋１）／２，τ／２，０）

となり，

　　ｃｏｓθ＝（１＋√５）／４

　　ｃｏｓδ＝−（１＋√５）／４　　　（δ＝１４４°）

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