【４】ｎ次元正単体の二面角

　線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．

　ｎ次元正単体の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがることになる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　ｎ＋１個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

の中心座標（体心）は

　　（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心（面心）は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

それに隣接する面

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心（面心）は

　　（ｘ／ｎ，（ｘ＋１）／ｎ，・・・，（ｘ＋１）／ｎ）

であるから，２つの連接する面心ベクトルは

　　（１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

　　（ｘ／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

より，面心間距離は

　　ｃｏｓθ＝−１／ｎ

二面角はその補角であるから

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

と計算される．ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１にならないが，これは正三角形による平面充填形（３，６）に他ならない．

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