【３】ｎ次元双対立方体の二面角

　それに対して，ｎ次元双対立方体では

　　頂点数：　２ｎ，

　　稜数：　　２ｎ（ｎ−１），

　　三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３

であり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜，すなわち，ｎ＝３では４本，ｎ＝６では１０本の稜がでる．各頂点のまわりには（ｎ−１）^2個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．

　また，ｎ次元双対立方体の各頂点の座標は

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，±１）

で表される．

　例えば，６次元双対立方体の頂点が

　　（＋１，　０，　０，　０，　０，　０）

の場合，１０個ある稜の対蹠点の座標は

　　（　０，±１，　０，　０，　０，　０）

　　（　０，　０，±１，　０，　０，　０）

　　（　０，　０，　０，±１，　０，　０）

　　（　０，　０，　０，　０，±１，　０）

　　（　０，　０，　０，　０，　０，±１）

であり，稜の長さは√２である．

　もう１個ある頂点

　　（−１，　０，　０，　０，　０，　０）

との距離は２であり，これとは結ばれない．すなわち，中心を通るもの以外のすべての対角線を入れればよいことがおわかり頂けるであろう．

　面心の座標は

　　（±１／ｎ，±１／ｎ，・・・，±１／ｎ）

で，体心の座標は

　　（０，０，・・・，０）

であるから，たとえば，隣接する２面の面心

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　（−１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

を選べば，面心間距離は

　　ｃｏｓθ＝（ｎ−２）／ｎ

二面角はその補角であるから

　　ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ

と計算される．ｎ＝２のとき９０°→正方形による平面充填形（４，４）．ｎ＝４のとき１２０°→４次元正１６胞体による空間充填形（３，３，４，３）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝