正多胞体がいくつあるかについては二面角の重要性がわかりました。今回のコラムでは正多面体の二面角に着目してみます．

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紀元前３世紀の頃（ユークリッドの時代），既に５種類の正多面体は知られていたといわれています．これら５個はすべて頂点がひとつの球面上にあり，Ｄを球面の直径，ａを内接する正多面体の辺の長さとすると，

　　立方体　→　Ｄ^2＝３ａ^2

　　正四面体　→　Ｄ^2＝３ａ^2／２

　　正八面体　→　Ｄ^2＝２ａ^2

　　正十二面体　→　Ｄ^2＝（５＋√５）ａ^2／２

　　正二十面体　→　Ｄ^2＝３（３＋√５）ａ^2／２

　また，正多面体ではすべての二面角が等しいという性質をもっています．

　立方体の二面角はπ／２（ｃｏｓδ6＝０，δ6＝９０°）ですが，他の正多面体については

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８°

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１°

　　正十二面体　→　ｃｏｓδ12＝（１−φ^2）／（１＋φ^2）＝−√５／５，ｔａｎδ12＝−２，δ12＝１１６．５６５°

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝（１−φ^4）／（１＋φ^4）＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３，δ20＝１３８．１９°

と計算されます．正四面体と正八面体の二面角は互いに補角をなすというわけです．

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