【４】４次元正多胞体の胞数

　正多面体（ｐ，ｑ）を境界多面体として，その頂点数，辺数，面数を（ｖ1，ｅ1，ｆ1）としましょう．すると，前述したように

　　１／ｅ1＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２

　Ｃ個の各胞に２ｅ1／ｐ個ずつの面があり，各面が２個の胞に共通なことより

　　２Ｃｅ1／ｐ＝２Ｆ

このことの双対として，頂点付近は双対正多面体（ｒ，ｑ）の形になりますから，頂点図形を（ｖ2，ｅ2，ｆ2）とすると，

　　１／ｅ2＝１／ｒ＋１／ｑ−１／２

　各面上にｐ個ずつ辺があり，各辺にｒ個ずつの面が会するので

　　ｐＦ＝ｒＥ

また，各頂点に２ｅ2／ｒ個ずつの辺が会し，各辺の端点は２個ずつですから，

　　２Ｃｅ2／ｒ＝２Ｅ

　これより，

　　Ｖ：Ｅ：Ｆ：Ｃ＝１／ｑ＋１／ｒ−１／２：１／ｒ：１／ｐ：１／ｐ＋１／ｑ−１／２

となり，Ｖ，Ｅ，Ｆ，Ｃの相互関係は求まったことになります．

　しかし，この比例定数をλとして，オイラー・ポアンカレの公式

　　Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋Ｃ

に代入しても，それだけでは構成要素（頂点，辺，面，胞，・・・）の個数が定まりません．偶数次元ではオイラー・ポアンカレの公式に定数項がつかないので，両辺とも

　　λ（１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ−１／２）

に退化してしまうからです．

　３次元の場合とは違って，Ｖ，Ｅ，Ｆ，Ｃを（ｐ，ｑ，ｒ）の関数として簡単に表す公式はなく，これが４次元の壁となっているのですが，この壁を突破する方法として，比例定数λが基本単体の個数ｇの１／４に等しいこと，したがって，基本単体の個数ｇを計算するとＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃが求められることが参考図書：

　　一松信「高次元の正多面体」日本評論社

に載っています．

　しかし，それよりも（３，３，３）（３，３，４）（４，３，３）がそれぞれ４次元の正単体，双対立方体，超立方体であること，その胞数が５，１６，８であることより比例定数λを求める方が簡単と思われます．以下では，この方法について説明します．

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　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．同様に，双対立方体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となります．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．

　どの次元にも３種類の標準正多胞体（正単体，超立方体，双対立方体）があり，４次元正多胞体（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，３，３）（３，３，４）（４，３，３）がそれぞれ４次元の正単体，双対立方体，超立方体であることは見当がつくわけですから，その胞数は５，１６，８であることを利用して，残り３つの４次元正多胞体の胞数を求める方が簡単です．厳密な証明とはいえませんが，胞数を求めるだけであれば，このような「不完全な証明」も可能です．

　そうすることによって，以下の結果が得られます（境界面ｐ，頂点に集まる面ｑ，辺に集まる胞ｒ）．

　　　　　　境界多面体　　　ｐ　　　ｑ　　　ｒ　　　λ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　３　　　３　　　３０

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　３　　　３　　　９６

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　３　　　４　　　９６

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　４　　　３　　　２８８

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　３　　　３　　　３６００

６００胞体　正４面体　　　　３　　　３　　　５　　　３６００

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　５次元正多房体（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ）の場合も，これまでと同様に４次元正多胞体（ｐ，ｑ，ｒ）をｓ個ずつくっつけますから，４次元正多胞体の二面角のｓ倍が４直角未満であることが必要です．

　その可能性は（３，３，３，３）（３，３，３，４）（４，３，３，３）の３通り，すなわち，５次元の正多房体は標準正多胞体に限られます．これらが５次元の正６房体，正１０房体，正２５房体になるというわけです．なお，（４，３，３，４）（３，３，４，３）（３，４，３，３）は等号が成立するので，４次元の空間充填形になることが理解されます．

　また，ｎ次元空間において，標準正多胞体以外に正多胞体がなく，二面角がそれぞれ７２°，１２０°より大きければｎ＋１次元においても標準正多胞体以外にはあり得ません．二面角はｎとともに増加するので，ｎ次元以上の空間では３種類の標準正多胞体しかありえないことになります．このような状況はｎ＝５で生ずるので，６次元以上の空間でも３種類の標準正多胞体に限られることになります．

　高次元の正多胞体といっても，５次元以上では３種類の標準正凸多胞体しかなく，５次元正多房体の房数は正６房体，正１０房体，正２５房体になることも同様にして「不完全な証明」が可能というわけです．なお，５次元以上では凹正多胞体も存在しないわけですから，その意味では平凡な次元といってよいのですが，それに対して４次元は本質的に多彩です．

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