【２】高次元の正多胞体

　ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．

　２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）

で表現されます．

　たとえば，

　　ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），

　　双対立方体は（３，３，・・・，３，４），

　　超立方体は（４，３，・・・，３，３）

と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．

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　また，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を基本単体と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体

の諸量を計算するための基本となっています．

　基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は

　　ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ

すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．

　また，（ｎ＋１）次元空間内の正多胞体はｎ次元球面上に射影することによって球面充填形になるのですが，そのような方法によって，３次元正多面体の基本単体の個数を（ｐ，ｑ）を用いて表すと

　　ｇ＝４π／π（１／ｐ＋１／ｑ−１／２）＝８ｐｑ／｛４−（ｐ−２）（ｑ−２）｝

　さらに，

　　ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ） なる関係を掲げますが，ここでｈはペトリー数と呼ばれるもので，反転が何回でもとに戻るかという群論（鏡像変換）に関係した基本量です．４次元正多胞体の場合は

　　ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）

で表されます．

　ところで，正ｎ角形にはｎ本の対称軸があります．そこで，正多面体の対称面の個数は？　ｎ次元の正多胞体に対称超平面は合計何枚あるのか？　という問題が派生します．答を先にいうと，この解はｎを次元数，ｈをペトリー数として

　　ｍ＝ｎｈ／２

枚で与えられます．

　正多角形の対称軸の数ｍ＝２ｎ／２において，分子の２は平面の次元数と解釈できます．また，３次元正多面体の対称面はｍ＝３ｈ／２個ですが，３は次元数です．

次元　　　　　　　対称面数ｍ　　　　ペトリー数ｈ　　基本単体数ｇ

２　　正ｐ角形　　　　ｐ　　　　　　　　ｐ　　　　　　　２ｐ

３　　（３，３）　　　６　　　　　　　　４　　　　　　　２４

３　　（４，３）　　　９　　　　　　　　６　　　　　　　４８

３　　（３，４）　　　９　　　　　　　　６　　　　　　　４８

３　　（５，３）　　　１５　　　　　　　１０　　　　　　１２０

３　　（３，５）　　　１５　　　　　　　１０　　　　　　１２０

４　　（３，３，３）　１０　　　　　　　５　　　　　　　１２０

４　　（３，３，４）　１６　　　　　　　８　　　　　　　３８４

４　　（４，３，３）　１６　　　　　　　８　　　　　　　３８４

４　　（３，４，３）　２４　　　　　　　１２　　　　　　１１５２

４　　（３，３，５）　６０　　　　　　　３０　　　　　　１４４００

４　　（５，３，３）　６０　　　　　　　３０　　　　　　１４４００

ｎ　　正単体　　　　　ｎ（ｎ＋１）／２　ｎ＋１

ｎ　　双対立方体　　　ｎ^2　　　　　　　２ｎ　

ｎ　　超立方体　　　　ｎ^2　　　　　　　２ｎ　

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　基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．そして，｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2｝上ｏn-1，ｏnのなす角

　　∠ｏn-1ｏn-2ｏn＝π／ｐn-1

は超平面同士が超辺上でなす二面角δの半分です（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用します）．

　二面角が重要なのはｎ＋１次元正多胞体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）が存在するための必要条件が

　　δｐn＜２π

で表されるからです．これは３次元正多面体の場合，１点のまわりの角錐の角の和が４直角未満という条件の一般化にあたります．

　超立方体の二面角はつねに９０°ですが，正単体の２面角は，頂点（ｘ，ｘ，・・・，ｘ），底面の中心ｏn-1（１／ｎ，・・・・，１／ｎ），１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））の関係から

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

　双対立方体の２面角は，たとえば，頂点（±１，０，・・・，０）と赤道面の１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））より，

　　ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ

と計算されます．

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３次元と同様の方法によって，４次元の空間における正則胞体の必要条件を定めることができます．（ｐ，ｑ，ｒ）すなわち合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．

　３次元正多面体（ｐ，ｑ）を各辺のまわりにｒ個集めてできる４次元正多胞体の必要条件は，２面角のｒ倍が４直角未満ですから，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）．

　立方体（４，３）の２面角は直角ですから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．

　正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます→（３，４，３），（５，３，３）．正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．

　すなわち，正４面体に対してはｒ＝２，３，４．正６，８，１２面体に対してはｒ＝３．正２０面体では許されないので，結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．

　そして，実際にこの６通りの正多胞体が構成できます．なお（４，３，４）は角の和がちょうど４直角となるので，３次元空間充填形です．

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　これらを一般的な条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，

　　２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））

このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）

すなわち，

　　ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）

より，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

同様に，

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

が導かれます．

　以上の必要条件をまとめると

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

となります．

　なお，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけということになります．

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