【２】双対性とルート系

　３次元には５つの正多面体（プラトン立体）がある．リストアップすると，正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正２０面体である．正４面体はそれ自身と双対であり，立方体は正８面体と，正１２面体は正２０面体と双対である．

４次元空間の正多胞体

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

　４次元には６種類の正多胞体がある．正８胞体（４次元立方体）のほか，

　　正５胞体（４次元正４面体：自己双対）

　　正１６胞体（４次元正８面体）

　　正２４胞体（相当する正多面体はない：自己双対）

　　正１２０胞体（４次元正１２面体）

　　正６００胞体（４次元正２０面体）

である．正８胞体と正１６胞体，正１２０胞体と正６００胞体は互いに双対，正５胞体と正２４胞体はそれぞれ自分自身に双対である．

ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ　　　２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

　双対性からみて，正４面体，正６面体，正８面体の多次元への拡張はわかりやすいと思われるが，３次元空間の正１２面体，正２０面体，４次元空間の２４胞体，１２０胞体，６００胞体は，より高次元においては対応するものをもたない．しかし，それよりも，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜正２４胞体，正１２０胞体，正６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいだろう．

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　ここで最も気になるのが正２４胞体である．正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．

　すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当する．

　２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものであろう．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがある．

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